一維波函數

講座八

McBride教授藉由解說波函數曲率大小與系統動能的關係,以及波函數平方與電子機率密度的關係,詳述了近期發展出的波函數觀念。因為波函數在負動能區域不可發散的限制,導致只有特定能量被允許;此特性可用以探索其簡諧振盪,莫斯位能和庫侖位能。考慮質量的影響,而顯示了一個在動力學、能量、振動頻率、及鍵長上的「同位素效應」。

講座八:一維波函數

    Michael McBride教授:Okay,上次我們看到用Jeopardy益智問答方法來解薛丁格方程式,就是用答案來找出問題是什麼?我們看到,對於固定位能,你得到一個正弦波。你可以選擇任何想要波長的正弦波,以及任何你想要的波週期。它產生了不同的能量,並有一個波長和能量之間的關係;就是這個例子中的動能,或是總能量。我們看到了指數對應於負的動能,這不是這領域中大多數人所喜歡的,也沒有多少人喜歡這種情形。但是,吸收這個觀念吧!因為那是小粒子的動能形式。如果你不喜歡稱它為動能,因為你太執著於適用於大物體的動能,即1∕2 mv^2,那麼就只考慮其總能量和位能間的差異,Okay?不過,無論如何這是動能。 Okay,我們看過了Jeopardy益智問答方法-由答案開始,來得知問題為何。但我們比較希望能從另一個方向來進行,就是從問題開始,找出答案是什麼。你可以由猜測能量為何開始。如果有一個足夠簡單的系統,就是使用一個一維粒子。這是一個很棒的方式,可用以得知量子力學的特別之處,使其盡可能簡單化,然後再進行到真實的系統上。Okay,我們可以重組薛丁格方程式,記得吧?這是薛丁格方程式:ΗΨ=ΕΨ,除以Ψ。ΗΨ∕Ψ這個項,可分成位能部分,就是V,這沒什麼,它是已知的;以及動能部分,這是一個負常數,包含質量的倒數,乘以Ψ的曲率,除以Ψ。因此,這必定與Ψ的形狀有關。記住,如果你用一個常數乘以Ψ,就是將曲率乘以相同常數,所以動能保持不變。這只是描述了形狀部份,並不是指振幅,因為這是根據曲率的比例。Okay,但我們可以將它重組,像這樣,會產生一個描述Ψ的曲率公式。如果你有一個曲率的公式,如果你知道曲線如何變化,線如何改變它的曲率,那麼,你就有一個繪出它的元素,如果你知道如何進行的話。如果以某個特定高度及特定斜率開始,假設這是你已知的,而且你知道這一點上的曲率;那麼你就可以知道,如果朝這個方向前進一小步,下一個斜率會是如何,Okay?因為這就是它如何彎曲的。如果你重新計算,並知道這點上的曲率,那麼你就知道下一點的曲率為何,以及隨後每一點的曲率。你可以使用這個畫出曲線,它必定會滿足薛丁格方程式,因為你是使用薛丁格方程式來產生這個結果。大家都聽得懂嗎?這是非常重要的。你們要我再說一遍,或是已經瞭解了?如果你有一個曲率公式,就是斜率變化的有多快;如果你知道最初的高度和斜率,如果你知道斜率的方向,就會知道下一點的位置。你就這樣,想像一個很小的-現在有個電腦上的問題:如果波是像這樣的,你以有限小的步伐前進,在每一步間的斜率都會改變,你無法得到滿意的結果。所以你用的步伐必須越小越好,以使每一步間的斜率不會改變。Chenyu? 學生:(無聲) Michael McBride教授:我聽不太清楚。 學生:你是指曲率是二階導數嗎? Michael McBride教授:是的,曲率是二階導數,沒錯。 學生:我們如何以正確的斜率開始? Michael McBride教授:我稍後會說明這一點。如果你有最初的斜率及高度,使用曲率公式就可描繪出曲線,大家都瞭解了嗎?Okay,很好,這是冗長乏味的-如果用手工繪製的話。但有個小程式,Erwin Meets Goldilocks可以代勞。它能啟動曲線並將它繪製出來,根據什麼-如果你知道一切關於方程式的資訊的話。Okay,記住當曲線遠離零點時,位能大於總能量;當曲線朝向零點時,位能小於總能量,對嗎?因此,位能大於總能量在直觀上是糟的情況,對嗎?這意味著動能是負值,它的曲線遠離基線。這有什麼糟的,或是危險的呢?請說,Kevin?請再說一次? 學生:它沒有界限。 Michael McBride教授:是的,它會繼續前進,直到無窮遠處-如果它的曲線是遠離的話。Okay,這是不成立的,它不能是無窮的。Okay,我們還知道其他什麼?我們知道m,即質量;我們知道常數C,而V是已知的,位能隨位置而改變,對嗎?但我們知道它如何隨位置變化,這是典型的庫侖定律;或可以用一些其他的定律,如果我們希望的話。你知道右邊所有的因子,除了總能量以外;你不考慮Ψ,因為你可以改變它的大小,你可以使用任何你希望的大小,使其等於一,Okay?我們可以將它加倍,如果我們想要的話。因此,我們知道Ψ;知道m;知道C;知道V。我們要猜測E為何?因此,這意味著,如果我們知道最初斜率;在這個問題上,最初斜率將等於零,你將會明白為什麼-然後我們可以使用這個公式來描繪出曲線,Okay?這正是電腦為我們做的。昨晚有人擔心數學問題;不要擔心數學,讓電腦計算這些斜率如何變化之類的,對嗎?你僅需思考曲率問題,Okay?所以,你只需要思考這個圖。 Okay,我們要使用這個Erwin Meets Goldilocks程式,談一維空間中的節點和量子化。星期一將會有個問題集作業。你們知道的,問題以及答案都在維基上,但在你嘗試前先不要看答案。Okay,讓我們由一個簡單的事情開始,如固定位能,或撞上牆壁,或更像是撞上枕頭之類的情形。但諧振振盪,或虎克定律是非常普遍的做法,所以我們將這樣進行。Okay,我們看到位能為距離的函數,所以你看到距離從零開始到2.5埃,而位能從零到100千卡∕莫耳,你可以隨意在電腦上更改它,Okay?水平黑線是個完全不同的圖形,它是代表Ψ的圖形。在這之上的圖形,就是我們將用來描繪波函數的圖形,Okay?這是波函數的零點,這是能量的零點,Okay?我們之所以把它們彼此相疊,是因為這樣就很容易看到它們對彼此的影響。就是波函數在位能之上,或是相反的情形,因為它們是相同因子的函數。Ψ是什麼的函數?它是什麼的函數? 學生:位置。 Michael McBride教授:它是一個位置函數。什麼的位置?我們正在討論的這個粒子,Okay?位能也是一個位置函數。Okay,我們進行的方式,是猜測它的能量,讓電腦繪製出曲線,看看它是否正確。我們由什麼得知它是否正確?我們怎麼知道它是否正確?它必須是連續的。這不會有什麼問題,因為電腦會像這樣描繪出曲線,它不會間斷。但主要的一點是,它不會發散出去,它不會到無窮遠處。Okay,我們猜測它是21千卡/莫耳。為什麼不呢?Okay,現在你們可以告訴我,曲線將會是怎樣的?請注意這兩個距離,在這兩者間的距離,總能量高於位能;在這個區域曲線看起來會如何?動能會是正的,對不對?曲線會像什麼樣子?Pat? 學生:在它們之間隆起。 Michael McBride教授:聽不太清楚。 學生:在這兩條線之間隆起。 Michael McBride教授:它可能上升或下降。請說?請再說一次?它不是-它會是正弦曲線嗎?是否有人認為它不是正弦曲線?為什麼不是,Russell? 學生:它會像正弦曲線的形式-當位能為常數時。 Michael McBride教授:那是當位能為常數時。它在這個區域不是常數,對嗎?因此,它並不確實是正弦曲線。如果這不是很高,它可能近似正弦曲線;因為這近似於常數,當這個距離非常小的時候。但它必定會有什麼特徵? 學生:它會朝向零點彎曲。 Michael McBride教授:請再說一遍。 學生:它會朝向零點彎曲。 Michael McBride教授:它會朝向零點彎曲。因此,它可能-看起來像這樣。總是如此-它會向上和向下彎曲,也許會彎到高處,但最終總是彎向基線的方向,永遠不會到無窮遠處,Okay?現在有個問題,如果看其他路徑,即圖形其餘部分,動能為負,因為位能高於總能量。因此,這些區域很危險,因為曲線將會到無窮遠處,因為它將會彎向遠離基線方向,Okay?怎樣才可能避免這種情況?你要如何使這個曲率除以波函數的值是非常大的,且這個曲率遠離基線方向,但不會彎向無窮遠處?動能如何能夠是大的,且是負的,曲率除出的數值是相當大的,但不會到無窮遠處?要怎麼做到這一點呢? 學生:我們是否要使它為有界呢? Michael McBride教授:請再說一次? 學生:使它為有界。 Michael McBride教授:有界? 學生:是的,使我們所觀察的範圍為有界? Michael McBride教授:不,這不是一個關於界限的問題。這個東西,這個粒子,如果它有限制在這裡的總能量,它不會一直向左或向右前進,確實如此。Okay,但這不是波函數如何避免前進到無窮遠處的秘密。請說? 學生:使它為常數。 Michael McBride教授:請再說一次? 學生:使它為常數。 Michael McBride教授:我們不能-使什麼為常數? 學生:像是-有點像是另一個。 Michael McBride教授:Okay。Russell? 學生:你必需有非常小的曲率。 Michael McBride教授:但是-你說非常小的曲率。但動能是相當大的,曲率除以波函數值必須是相當大的。Mike? 學生:你可以使波函數值趨近於零。 Michael McBride教授:啊,如果波函數值接近零,那麼你就可以有一個相當大的…,抱歉,等一下-那麼你就可以有一個小的分子,幾乎沒有任何曲率,商依然會是大的,對嗎?當分母接近零時,動能可以是很大的,且是負的。因此,這意味著,如果在這些紅色區域,你知道波函數會像怎樣?它必定像什麼樣子?它必定下降到接近零點處,並停在那裡,不會有任何曲率-不會有足夠的曲率將它拉向遠處。因此,它會像左邊這樣,對嗎?因為在這裡,拋物線將向上延伸出去,曲率除以波函數是相當大的;但如果波函數在基線上為零,曲率在基線上也為零,Okay?右邊也是相同情形。因此,我們知道,曲線會像這樣,像這樣的東西,Okay?而我們僅需連接這些區塊。Okay,讓我們試試看。我們猜測的是 21千卡/莫耳,這是我們腦中所想的圖,只是思考的圖形。我們讓程式來做這個,先從左邊開始。現在明白為什麼要從斜率為零開始了嗎?因為如果它在這區域,且斜率為有限的或有明顯斜率,它會向外彎曲,你會有困擾,因為它會到無窮遠處。因此,我們將使用Erwin Meets Goldilocks這個程式,我們將開始於-這是曲線,這是動能為負的部份,對嗎?它不會到無窮遠處,因為它的起點夠低;左邊也有足夠低的斜率。Okay,當它穿過那條線時,會發生什麼情形? (學生此起彼落發言) Michael McBride教授:什麼? 學生:曲率會改變。 Michael McBride教授:現在曲率將朝向基線,我們猜測它會如此,所以會像這樣。現在會發生什麼情形?現在它將再度遠離基線彎曲了。喔哦,你們沒有完全答對,對不對?Okay,在這裡我們會有太多或太少的能量?請注意,我們希望右邊的情形如何?我們是從左邊開始,看起來不錯;但在右邊,我們遇上困擾了。我們需要在中間部分做些什麼,以使它在右邊時也okay?它必須不那麼彎向基線;大家是否瞭解我所說的?如果它彎曲的較少,就可以符合最初的那條線。Okay,我們給它少一點能量,讓我們試試 20 千卡∕莫耳。它太熱了,有太多能量了。Okay,我們猜測它是20 千卡/莫耳。Okay,我們開始吧!開始進行。幾乎完全一樣,它幾乎是相同的能量,不出你所料,看起來差不多。它將在這裡彎曲,跟我們預期的一樣,但比之前少一些,對嗎?我們進行的方向正確,那是怎麼回事? 學生:太冷了。 Michael McBride教授:太冷了。你需要什麼? (學生此起彼落發言) Michael McBride教授:在這之間的某處將會是正確的,Okay?因此,它是在20到21之間,我們應該猜測20到21之間的能量。這是合理的嗎?最初的哪個猜測比較好?最初的哪個猜測比較好,為什麼?紅的還是藍的?哪個猜測比較好? 學生:紅色的。 Michael McBride教授:為什麼紅色的比較好? 學生:因為它的彎曲接近基線。 Michael McBride教授:它在到無窮遠處前,所持續的時間比較長,所以它會較接近紅色的,而不是藍色的。如果你周旋在這上面-這就是我要你們做的,因為這是我認為可使它進入你腦中的方式;就是猜測數字,並說「我應該怎麼做下一個猜測?」之類的。在你嘗試過幾次後-但要有足夠的次數使它內化。當你做了足夠的次數,你就可以使用這個函數來「解決」問題,它將替你做這個猜測遊戲;但一開始你要自己嘗試。Okay,當你完成之後,結果是你得到20.74噠-噠-噠,像這樣小數點後很多小數位數,你會得到那個恰到好處的曲線,Okay?所以這是你唯一需要做的數學:是太熱、或太冷、或恰到好處?Okay?你必須知道,因為這個曲率所產生的結果,為什麼會那樣。Okay,所以我們得知20.74千卡/莫耳是一個能滿足這個的能量,它符合這個波函數,不管它對什麼來說是好的,Okay?但這就是我們所要觀察的能量。有什麼能量是這個系統允許的?可能有一個較低的能量是這個系統允許的嗎?你能想像一個比較不彎的波函數,它也有不會到無窮遠處的特性?有人能猜測出它會是什麼樣子嗎?Nick? 學生:它可以只是上升。 Michael McBride教授:啊,它可以只是上升,然後回到基線-它必須回到基線,但它可以只是一直上升,而不是在中間有這麼多的彎曲。Okay,所以我們猜測一個較低的能量,會有一個較低的能量Ψ嗎?是的,的確有。可能有一個在4.15-事實上它是4.149之類的,小數點後很多位。就是這個,正是Nick所預測的。Okay,所以你得到這個。還會有一個更低的能量嗎? 學生:是的,在這兩者之間。 Michael McBride教授:不是在兩者之間。可能有一個低於藍色的嗎? 學生:(無聲) Michael McBride教授:你能想像一個方式,使它比藍色線更低,甚至連曲率也是?請說,Angela?請再說一次? 學生:如果它彎曲,就像一個… Michael McBride教授:我聽不太清楚。 學生:如果藍色是向上的,那麼可能會有一個是向下的。 Michael McBride教授:啊!有可能是倒過來的藍色曲線。確實沒錯,可能有個倒過來的藍色曲線,但這是相同的,因為這是藍色線乘以負 1,記得嗎?你可以用任何數字乘它,但它仍然是相同的曲線,對嗎?因此能量相同。這不是一個不同的波函數,它只是乘以一個常數。但你是對的,它也符合這個曲線,但結果是一樣的。你能想像任何比這個還低的能量嗎?這是不可能的,因為如果它中間有更小的曲率,它必定會到無窮遠處,當它在另一個區域中彎回來時。Okay,這就是-藍色是最低的。可能有一個在這兩者之間嗎? 學生:是的。 Michael McBride教授:會像怎樣?它看起來像-你如何得到這個?請說,Kevin? 學生:一個峰在這個值之上,一個在它之下。 Michael McBride教授:啊,一個峰之上,一個在之下,對嗎?兩者之間還會有一個能量嗎?確實有,可能是那個。在這之間還可能有其他的嗎?當你將曲率相加時,會發生什麼情形?你會得到這些節點,節點是波函數等於零的地方,這邊出去的不是節點,那是幾乎為零的地方。節點是剛好等於零時,它必須是零,因為它是從正值變成負值,顯然它必須經過零點。從這裡和那裡出去的地方,是非常、非常小的,但不是零;它不是節點。節點就是它為零的地方,因為符號改變了。Okay,節點與能量有關,為什麼?請注意,最低能量就是藍色那個,沒有節點;下一個紫色線,有一個節點;再下一個,紫羅蘭色或不管它是什麼顏色,有兩個節點。為什麼會出現這種關係? 學生:我注意到有反曲點。 Michael McBride教授:它們是反曲點。但為什麼當它們有較多節點時,能量較高?Sam? 學生:頻率較高。 Michael McBride教授:請用能量的方式敍述。有些人說頻率就是能量,這沒錯,但我希望你能用我們所談論的方式來描述。你如何得到更多的節點?請說? 學生:曲率的絕對值較高。 Michael McBride教授:是的,如果曲率變大,會有較多的節點。曲率就是能量,即動能,對嗎?因此,曲率更大,節點會更多,能量也更大;或說是能量更大,曲率也更大,節點會更多。因此,我們會有0個、1個、2個節點,這是最低的3個能量;也會有3個、4個、5個、6個節點,隨你想要有多少個節點。Okay,這很棒,這樣你們就可以用各式各樣的技巧做週一的問題了,我希望你們用這個程式做,只是為了讓你們多練習,自己得到一些發現。我在下一張幻燈片展示相關的發現,那是你們可以做的。但我提醒你們,如果有更多維度或更多粒子,就會變得不可行;你唯一可以做到這一點的特殊方法,就是用一個在一維空間中的粒子。因為如果有更多粒子,你會不知道是哪個曲率在改變,你知道曲率-記住,這是一組曲率的總和,知道動能,及總能量和位能的差異,無法告訴你是哪個曲率在改變。如果只有一個粒子,你會知道這個就是你要做的。因此,對較複雜的系統來說,會有相當多的程序要做,對嗎?但這不是我們目前的目標,我們的目的是瞭解量子力學如何在這個簡單系統中運作。但問題是,這是否值得我們費工夫,學習它是如何運作的?如果我們無法用它來做什麼?或用另一種方式來說,「這有什麼回報?我們從這個能得到什麼?是否值得花時間在上面呢?」 嗯,這就是找出Ψ的回報(笑聲):一切的知識,Okay?例如,你能知道什麼能量是系統允許的;知道結構會是什麼樣子;知道它的動態行為,它如何運動;知道鍵如何運作;這正是我們所尋求的知識,還記得嗎?你會知道是什麼使反應產生,最後大有收穫。因此,繃緊神經,專心致力的學習,在未來幾個星期中,我們將致力於此,Okay?首先,我們來看看適用的能量和結構。Okay,當然,我們已經做過這個了,對嗎?沒有節點、1個節點、2個節點。但什麼能量是被允許的?Okay,這裡有一大堆曲線:沒有節點、1個節點、2個節點、3個節點、多達 7個節點或-是 7個嗎?是7個節點。這是它們的能量:4.15,12.44,20.74,29.04,37.34;你們看得出能量有任何模式嗎?它們有相等間隔;在第一個之後,它們是有相等間隔的。第一個與零相較之下如何?第一個有多高?如果你知道這個間距的話? 學生:一半。 Michael McBride教授:它的間距是一半。第一個在零點之上的間距,是其他的一半,對嗎?因此,能量是某個常數,這個常數大概-大約是 8.3,乘以一個整數減去1∕2。為什麼會有整數?因為節點是整數;不會有1∕2個節點,對嗎?它是0個、1個、2個、3個、4個節點等等,Okay?所以這相當棒。我們知道對於彈簧、或諧振振盪、或鍵結的原子,只要位能-它不會有很大的振動,位能的偏離看起來像一個拋物線;在曲線的底部,它看起來像一個拋物線。因此,這是鍵結原子應會表現出的樣子-近似這樣。Okay,還記得來自於 1926年的押韻詩:「我們只希望能稍微瞭解Ψ可能的意義為何」。到目前為止,我們用Ψ來做什麼? (學生此起彼落發言) Michael McBride教授:我們用它-它不會到無窮遠處,來尋找我們猜測的能量何時是正確的;這只是一個告訴我們是否有正確能量的工具。但Ψ是否確實意味著某些東西,除了只是一個為達此目的的方便工具?在6個月後,於1926年,它所代表的意義被提出來了。這是玻恩的論文所寫的,就是:Ψ不代表任何意義;但Ψ^ 2 是機率密度,或正比於機率密度。如果你能將它做正確比例-記住,你可以改變Ψ的比例,就是將它乘以任何你想要的數字。如果你的比例是正確的,它會是粒子的機率密度。這是他用德語所寫的,他寫的是,「如果要將這個結果以物理術語來描述,只有一個解釋是可能的:Ψ代表(結構的)機率」。但那裡還有一個注腳,因為他犯了一個錯誤。他在這個論點建立後做了修正,所以他在這裡做了一個注腳:「修正的證明:經過更仔細的思考後,顯示機率正比於Ψ^ 2」。它為什麼不能是-為什麼機率不可能正比於Ψ?因為Ψ可以是負的!機率不能是負的,這是一個原因;還有其他原因。我不知道他對這個會有多尷尬,但無論如何-因為根本沒有其他人知道Ψ是什麼。我認為,雖然如此,他可能會感到自豪,對嗎?不過,無論如何,它是Ψ^ 2,而不是Ψ本身;它表示了機率密度。6個月後,愛因斯坦寫了一封信給玻恩,你們可能曾聽過他所說的,「但一個內在聲音告訴我,這不是真的。理論說了很多,但它並沒有帶領我們更接近上帝的秘密。無論如何,我相信上帝是不會擲骰子的」,對嗎?所以它不是機率。愛因斯坦認為這個是有根本決定論的,但事實證明在這方面愛因斯坦是錯誤的,對嗎?這是機率;但它不算是機率,它是機率密度。我們必須多想想關於這個;我們可以想成它在-比方說,以質量密度來說,假設有個瓶子,裝有水銀、水和油,對嗎?而你要問這個問題-如果瓶中物質總質量為1公斤,它有多少分量,或說是重量是多少,在剛好從底部算起1公分的部份?你認為有多少克,或說是總量的多少分量,剛好在從底部算起1公分的部份?有人猜到了嗎?5%、 1%、1/2 % ,或10%? 學生:12%。 Michael McBride教授:12%? 學生:3。 Michael McBride教授:大家的意見明顯不同,對嗎?有高於 12%的嗎?有低於 12%的嗎?誰還想參加競標?請說,你說什麼? 學生:零。 Michael McBride教授:零? 學生:這是一個準確值。 Michael McBride教授:為什麼是零?顯然它必須是-在不同高度會有不同密度,對嗎?因此,我把這條線畫在水銀中的機率,會比在油或水中要大,對嗎?但你說是零,為什麼? 學生:因為它是一個準確值,它不會有- Michael McBride教授:沒錯。一個平面、或一條線、或一個點,沒有任何體積,對嗎?你需要一個體積-它是零,你說得對。你需要一個體積,你必須乘以密度;每立方公分的克數乘以體積,會有多少立方公分,以獲得質量。同樣情形-所以在這個例子中,真正的問題將是,1公分和1.01公分之間有多少?或類似的問題。你可以問這個問題,但你無法得出剛好1公分時是多少。所以,你必須乘以體積,將密度乘以體積,得到這個量,對嗎?因此Ψ^ 2是機率密度。這是指在一個小體積、一個單位體積中,它可能會如何;就是問題中這個點的周圍。所以,你用問題中的某些點,將Ψ平方,找到密度,將它乘以體積∕Ψ;Ψ是一個常數-因為它不會變化的相當快;所以你可以選擇一個相當小的數字乘上它,這就是出現在這個小區塊的機率,對嗎? 請記住,我們說你可以乘上任何你選擇的常數,改變Ψ的比例,即使是一個負值、或-π、或無論是什麼,Okay?是否有一個好的、最佳的值,可用來改變它的比例?你可以用某個數位改變比例,使它的平方乘以每一處的體積,將這些小盒子加總,得到1。為什麼你想要得到1?因為其中某處的總機率為1,對嗎?這個過程稱為歸一化,我們通常不擔心這個,對嗎?我們通常只是使用任何我們想用的數字,方便繪製圖形,並知道如何改變比例;如果我們想要計算實際機率密度,使其總和為1。Okay,這是一個例子。上面顯示其中兩個曲線,下面是它的平方,並沒有適當做一致的比例改變。我想這是-紅色的面積比藍色的多一些,但也許不是;如果已經歸一化的話,它們應有相同面積。Okay,這顯示出它的圖形。關於這個有件有趣的事;如果有個鐘擺,或連接在彈簧上的東西來回擺動;大部分時間它會在哪? 學生:末端。 Michael McBride教授:在末端,因為它在那裡會很慢,對嗎?藍色曲線大部分時間會在哪?它大部分時間會在哪?如果它是藍色線的波函數,哪裡會最密集?就是最低的波函數,零節點的波函數?很明顯,它在中間的時間最長,而不是在末端。但請注意,如果是第七個波函數,一、二、三、四、五、六、七,第七個波函數有七個峰-那麼,最可能是在末端;當它-當它變得越來越高時,會更集中在末端。這就是為什麼某個相當重的東西,它會表現出如你所預期的,在鐘擺或一個連接在彈簧上東西的行為,Okay?這是尚未歸一化的。請注意,這裡有個非常有價值、相當重要的東西;就是在這條線上,紅色曲線的位能和總能量相同,對嗎?因此,這裡的動能為零。這裡動能是正的,在這外面動能是負的。粒子可以在這外面,對嗎?因此,粒子可出現在負動能區域,這沒什麼特殊之處,Okay?這就是粒子運作的方式;動能可以是負的。在藍色的例子中,這點是動能為零的位置,在這之外的是出現負動能區域的機率。 如果以莫斯位能來看呢?請注意,如果看第一個的莫斯位能,它看起來會如同虎克定律中的簡諧振盪。這是否令你感到驚訝?不會,因為位能看起來像這樣,非常像,對嗎?但是,當它越來越高時,像是有十二個節點的波函數之類的,你可以看到它是非常不同的。它在遠端的時間較長,其平均值移向右側。但這並不令你驚訝。因為當向上時,位能阱向右側移出;以莫斯位能來說,移向較高的能量,因為低的動能;就是移向右側時,意味著低的曲率。為何這使它的機率變高?因為只要有高的曲率∕波函數,每當波函數的峰向上時,它會再次向下;它不會停住不動。但如果有朝基線方向、非常低的曲率,即非常低的動能,那麼它可以上升。你不需在意這個,因為動能-當波函數大的時候,曲率不需要太大。Okay,就像這樣,然後在這裡遠離出去,相當像一個指數的衰減。這是否令你感到驚訝?Kate,看起來這並不令你驚訝。 學生:不會。 Michael McBride教授:為什麼不呢?什麼時候你預期波函數呈指數衰減?在什麼情況下? 學生:當位能- Michael McBride教授:我聽不太清楚。 學生:當位能是常數時。 Michael McBride教授:啊,當位能是常數時。還有什麼也會是指數形式?正弦波也是常數。 學生:對,但它必須是- Michael McBride教授:對嗎?是什麼使它是指數,而不是正弦波?請說? 學生:負的動能。 Michael McBride教授:啊,動能為負值,位能高於總能量。但這是右側的情形,因為這是位能,這是總能量;動能會下降,它是負的,這就是兩者間的差異,Okay?這裡有一大堆的簡諧波-以莫斯位能來看,它看起來與虎克定律有何不同?它的能量間距看起來是否與虎克定律一樣?同樣的,0個、1個、2個、3個、4個節點等,但它有什麼不同?請說? (學生此起彼落發言) Michael McBride教授:啊,當它上升時,間距越來越近。所以,真實鍵的位能看起來更像這個,而不像彈簧;當得到更多振動能量時,會使它的能階越來越接近。Okay,它們的間隔不相等,不像在虎克定律中的情形。隨著能量的增加,節點數增加,位能阱變得較寬,寬於在虎克定律中的拋物線。因此,波長變得較長,這些節點的間距更大,能量低於虎克定律所預期的,因為它沒有這麼多的彎曲。當節點數相同時-就像第十八能階有相同節點數,與它在虎克定律中相同,但它們橫越較寬的距離,所以有較少的彎曲,能量不會上升那麼多。Okay,這個很有趣,看一看,如果你有藍色線的能量時,對嗎?現在,波函數看起來像這樣;它不再是有界的。你是否感到驚訝?當總能量高於位能時,這個波函數前進到無窮遠處,就是在右側這個?不,這意味著你有足夠的能量打破鍵結,因此,粒子可以繼續前進。Okay,這看起來像什麼?在這個區域,它看起來像在虎克定律中,或類似的情形;多少是相像的。它在右側部份看起來像什麼?它是一個正弦波。為什麼?Sam,它看起來像一個正弦波,是否令你感到驚訝? 學生:因為位能是- Michael McBride教授:啊,位能是常數。在那裡事實上是常數,並低於總能量。因此,它是一個常數。它接近一個正弦波,因為當總能量在離解極限之上,會有一個固定、且是正的動能。因此,這是位能,這是總能量。現在動能是正的,且約為常數,因此它近似一個正弦波。Okay,庫侖位能是比較複雜的,複雜的原因是,當 r 變成零時,能量會趨於無窮大;當正的和負的彼此相疊,它傾向於到無窮遠處。因此很難將這個數值化,且當你嘗試用它來做庫侖位能時,這個程式有時會弄錯。但這是一維的,其結果為-奇怪的是,對庫侖位能來說,這個系統在三維時比一維簡單。不要擔心技術方面的事,但無論如何,這是用這個程式做出的圖,你可以看到最低-當接近零時,有相當高的曲率;因為當粒子彼此非常接近時,會有相當高的動能。因為Erwin程式是近似值,使用有限的步距,所以你經常會遇到困擾。Okay,總之,同樣的思考模式,當得到較高能量時,波會散佈出去;它們會散佈的較遠,原因相同於在莫斯位能中的情形。雖然我們在這裡使用的是質量輕得多的粒子,我們使用的是電子,對嗎?但它散佈的更遠,因為位能阱也散佈更遠,Okay?因此,高能階會散佈較遠,而能量的序列-這是最低的,然後是下一階,再下一階。第一個間距是大的,然後它變得越來越小,結果是,能量是一些常數除以n^2。因此,第一階能量為-k,下一個是 -1∕4 k,藍線與零點的距離只有下面那條綠線的四分之一。它是在頂端的那個,零點是頂端那條灰色的線,因為它會繼續前進,遠離到零點之外;下一個是從頂部到最低能階的1/9。 因此,發現Ψ的回報就是「一切的知識」。我們已經看過了可行的能量和結構,我們要來看另一個例子,可由此得到結構;我們也會看到一些關於動力學的問題。關於原子的運動是很有趣的。這是-假設這是一個質子,鍵結在某個沉重的粒子上,因此,沉重的粒子不會移動,而氫會移動,Okay?這是它的波函數,這是鍵距,即最低能量。如果你將鍵伸展,能量會上升;如果你將鍵壓縮,能量也會上升;這是氫原子位置的波函數,對嗎?現在假設我們增加質量,不討論氫原子,而討論一個碳原子,它有-就說是 14個質量單位好了,這取決於我們使用的同位素。假設我們看14這個質量,會產生什麼改變?如果我們使質量-如果我們使質量為14時,可以使用相同的函數嗎?請注意,我們使用相同的位能,因此,對這兩個粒子來說,在任何點上的動能將是相同的。質量如何進入動能中?請說? 學生:它是更密集的嗎? Michael McBride教授:我聽不到。 學生:它會更密集嗎? Michael McBride教授:為什麼你說它會更密集?什麼使它更密集? 學生:較高的核電荷,因此電子會傾向- Michael McBride教授:是的。但你思考的不是量子力學,你認為它有較高的-不,等一下,我們這裡談論的不是核電荷,我們所談的僅是質量。我們考慮的是,它連接在一個彈簧上,Okay?因此,不考慮靜電作用,這是指彈簧的伸展。Elizabeth? 學生:在你之前顯示的方程式中,曲率與質量成正比? Michael McBride教授:是的,動能中有1∕m的項,因此,如果你增加質量,並保持相同的波形,能量會變成怎樣? 學生:減少。 Michael McBride教授:能量會減少。但是,這個能量對氫來說是相同的,你不能只是降低在給定位置上的能量,如果你知道總能量的話。Okay,你希望它是-要得到相同的能量,它必須有更多的彎曲。Okay,大家都瞭解我所說的嗎?如果有更大的質量在分母,要有相同的能量,就需要有更多的彎曲;要有14倍的彎曲,以補償這個更大的質量。因此,它朝向基線的彎曲必須有更多,Okay?因此,如果我們用相同的能量,並使質量較高,在相同的能量下,我們得到更多的彎曲;它將有更多的彎曲,它將持續波動到無窮大,它的能量甚至比第二階的波更高;它彎曲的太多了。你將如何找出最低能量?你猜測該怎麼做?如果想找到最低能量,該怎麼做?你降低所猜測的能量,使朝向基線的彎曲減少,Okay?如果你這樣做,就是降低這個的能量,就可以得到答案,對嗎?因此,以相同鍵結來說,氫有比碳高得多的振動能量,以獲得最低能量。我認為當你們有時間思考這些時,就會更加清楚;如果沒有更清楚,就問問題吧!Okay?現在,如果你使鈾 235,或一個彈珠連接在相同彈簧端點,會是什麼情形?你認為它的波函數會是什麼樣子?最低能量的波函數? 學生:一個峰。 Michael McBride教授:只有一個峰。當它越重,就會變得越窄,對嗎?如果有像棒球之類的東西連接到鍵上,它會停在那裡,你不會看到它散佈出去。但電子比原子核輕得多,電子確實會散佈出去。Okay,這是氫和碳的機率分佈,它們是連接在一個單鍵上的。為什麼它們的平均值不在相同的位置?明白我的意思嗎?Elizabeth?請再說一次? 學生:加速度與質量有關。 Michael McBride教授:不,不是。它必定與-請說? 學生:因為電子不是受相同的吸引力。 Michael McBride教授:不,不,它是-記住,我們不考慮電子,我們只是假設有一個原子核連接在彈簧上,彈簧代表單鍵的力,Okay?鍵的位能為何?是虎克定律嗎?對鍵結來說,什麼位能是比虎克定律更好的? 學生:莫斯位能。 Michael McBride教授:莫斯位能,它會向外擴大。還記得嗎,當它上升時,因為氫上升較多,它的樣本會更向右側前進,所以它向碳的右方位移,Okay?所以讓我們-在最小能量位置時,它們會振動;以這個不對稱的莫斯位能來看的話,較高能量轉移到右側。這是最高值的一半。所以它-它是一半的可能性,這裡的機率密度是那裡的一半。若問說,它會散佈多遠?它會前進到無窮遠處,但我們可以討論它有多寬,以它在一半高度時有多寬來衡量。因此,氫在一半高度時,是從這裡到這裡;但碳在一半高度時,只有從那裡到那裡。也就是說,如果你考慮它們的震動,氫有比碳更大的振幅,因為它的重量較輕。因此,氫的振幅是0.1埃,為距離的9%;碳的振幅只有氫的一半,為C-X距離的3%;這是因為其質量的差異。記得我們之前,在上一次說過,一般晶體中的原子,振幅約為0.05埃,這就它的來源;與量子力學有關。這是它們最少可以-當它們在其最低可能能態時,就是以這個幅度振動,對嗎?這是它的大小,就是縮小後的那個小黃點。我們看過了可行的能量和結構,看過了動力學,看過了振動。下一次,我們將要看看動力學,以及最高潮的鍵結;我們要如何理解一維空間的鍵結。 2008年9月18日