真實軌域與軌域近似

講座十

到目前為止，關於薛丁格方程式的討論，描述的不是一維系統，就是包含單電子的系統。在討論了核電荷的增加如何影響單電子原子的能量後，接著討論混成軌域。這一講最後描述了一個簡單的事實，就是以單電子軌域無法正確描述多電子系統。

講座十：真實軌域與軌域近似

    教授：回到課程中。我們的進度良好，因為我們已經從一維進行到三維，得到了一些真正的東西－真正的原子。如果你用上堂課提到的那個表，就是舊時數學家算出的表，插入可以一併計算的資訊，就可以得到正確的波函數，即薛丁格方程式對氫原子的解，或任何單電子原子的解。它可以用於任何數目的核電荷，對嗎？因此，它是真實的東西。人們顯示的圖片，是一些近似的圖，但你有方程式，對真正波函數來說實際的公式，沒有人會有比這更好的了，這才是如假包換的真正資訊，Okay？ 你可以審視這些人們畫出的圖，看看它們是否符合真實情況，還是只是某種藝術家所想的形象，或不明白的人所想的形象。也許他根本不是一位藝術家，對嗎？所以你確實可以做到這些，其中有許多是非常簡單的函數，如e^(-r)，對嗎？很難有比這更簡單的了。Okay，你也可以畫出圖形，看起來就像是你看到的電子是有顏色的。這是用光線追蹤來做的。電腦就像是你的眼睛，可看見有多少電子密度通過，如果它通過這一點、或那一點、或那一點，沿著來自你眼睛的特定射線，並放上一種顏色，使它正比於它所見的電子密度。這不是波函數；它是波函數的平方。電子密度，就是盒中原子狀態圖形，Okay？這就是它的真實模樣。這就是如果能看到它，如果沒有波長與光子碰撞電子等情況時的圖形。 這就是它的模樣，對嗎？但它會被上色，根據波函數的符號上色。這不是波函數，它是波函數的平方，因此會是正值。但它的顏色會顯示出，在這區域的波函數會是正的，或在這區域是負的，我很快就給你們看看，但先讓我們－或等一下－先讓我們描述它一下。螢幕上有大量的資訊，可以用來得出盒中原子圖形，有多少人嘗試過了？Okay，每個人都該試試，Okay？Okay，首先你有薛丁格方程式，這往往會出現，有點傻，但如果你需要參考薛丁格方程式的話，就在這裡。在頂端的是要畫的函數，有已知的n、l、m，也可用1s做代號。對這個特定函數來說，n、l、m分別是1、0、0，這是此特定波函數的公式，你知道它是什麼？它是一堆常數，我們不理會它。但這裡是e^(-r)，注意，他不使用ρ，他使用實際的r，明確顯示出Z和a_o，2會被抵消，Okay？他顯示出能量會是多少？以電子伏特為單位，1電子伏特乘以23.06大約是1千卡，這是我們通常使用的單位。現在，你可以看這些圖片，並提問一些相當簡單的問題。像哪裡的電子密度最高？原子核在這張圖片的中心，一點也不奇怪，這不是很難的問題。哪裡的電子密度最高？ （學生此起彼落發言） 教授：中間，對嗎？沒什麼大驚喜。Okay，要怎麼得知？你用這個波函數，將它平方找出哪裡有最大值，e ^（－距離）有個最大值，當距離為0時，這個值是1，它從那裡開始減少。Okay，你剛找尋到密度最高處，你只需將波函數平方，並使它有最大值。Okay，現在有個稍微不同的問題，什麼是最可能距離？你明白這為什麼是個不同問題嗎？你可能會認為最可能距離就是密度最高處，但這並不完全正確，知道為什麼嗎？ 學生：（無聲） 教授：因為最－請說？ 學生：它可能在這區域中移動非常迅速。 教授：不，它與移動無關。請說，Lucas？ 學生：在中心幾乎沒有體積。 教授：在中心幾乎沒有體積。如果你取－如果你是指一個點，那麼，它是沒有體積的，Okay？但取一個小方塊，把它放在中心，或事實上是有特定半徑的球體，一個小半徑，0.0001 埃之類的，把它放在中心，看看裡面有多少密度，Okay？你還可以看看向外1埃距離處的密度。看看一個小球體，球殼是0.0001 埃厚，大家都清楚嗎？因此，可能會在不同方向有電子密度。在與原子核相距特定距離處，距離越向外延伸，球殼包含的體積越大。它保持相同厚度，但當你向外移出時，其中包含的粒子越多，明白我的意思嗎？包含更多的體積，它與什麼成比例？當你增加r，外殼體積如何增加？當距離向外延伸時，球體表面積如何增加？ 學生：r^(3) 教授：不，體積是r^(3) 學生：r^(2) 教授：隨r^(2)增加。表面積隨r^(2)增加，對嗎？所以，你必須將機率密度乘以r^(2)，看看在多少半徑處會有最多粒子，大家都清楚嗎？因為你想計算那個半徑中的所有粒子，不僅在這個方向，還有那個方向、那個方向、那個方向等等。球體越向外越大，你會注意到，右下圖所顯示的是r^(2)乘以波函數的平方，Okay？這會讓你知道最可能距離，Okay？所以，你必須以r^(2)做表面積加權，它不是在0的位置，它在我們通常用來衡量距離的單位上，即a_0，結果是1埃的一半，即0.53 埃。Okay，這是一個 2s軌域，對嗎？我們畫出相同厚度的兩個不同球殼，對嗎？將它們編為1號及2號。我們要提個問題，哪個有較高的密度？（技術調整房間照明）。Okay，哪個球殼有較高的密度，1號還是2號？ 學生：1號 教授：1號，很顯然的，okay？現在，有個不同的問題－ okay，它顯示了1號－哪個球殼含較多電子密度、較多粒子？哪個有較大的機率？ 學生：2號 教授：這不是很明顯，因為1號有較高的密度，但2號體積大得多，Okay？事實上，2號的半徑約是1號的3倍，對嗎？這個球殼的體積多了多少呢？ 學生：9倍 教授：約9倍的體積。不是球體，而是球殼，Okay？因此，它的體積約是9倍。因此，事實上，2號含有較多的粒子，你可以在這張圖中看到，對嗎？紅色的 2號大於綠色的 1號，對嗎？因此，根據所問的問題，你必須決定是否需將它以r^(2)做加權，以獲得所需的答案。Okay，這是另一種觀察波函數的方式，這個情形是－事實上它是一個3d軌域波函數，正如你看到的。不是從這裡看，是從這裡，它是3d軌域。這是三維圖片，使用我們談過的光線追蹤方式做出的。你可以這麼做－如果你點擊下面這個「切面」鍵，就會得到一個通過它的切面，Okay？所以這是二維的，更像我們曾用過的等高線圖。這只是一個通過三維粒子的切面，因此，這是一個二維圖，不是投影圖，而是實際的切面。用這個滾軸你可以控制切面位置，這是中心處的切面；因此通過原子核，如果想要的話，可以將滾軸下拉，看看切面是什麼模樣。就是將螢幕前的圖片做切面，大家都明白嗎？你可以用這種方式看不同層面，如果你想要的話。或者可以當成是看整個粒子，因此，可以看近處或遠處的切面。 Okay，我們來看看這兩個不同的二維和三維圖像，並看節點的圖形、形狀和3d軌域的能量。這是3d軌域的節點對角線，Okay？所以這是3d軌域。我們來看看這個，仍然是兩個節點對角線，事實上，原始節點是錐體。這是通過錐體的切面，頂端及底部的切面，Okay？因此，節點表面－記住，在一維時節點是一個點，在二維時，節點是一條線，在三維時節點是一個表面，對嗎？我們將它做切面，可看到圓錐交叉的表面，但實際的節點是一個錐體。Okay，但這是你在右側圖片中看到的唯一節點。 學生：有一個圓形的－ 教授：啊哈，Angela說她還看到一個圓，對嗎？因此，在這個軌域中有兩種類型的節點，兩個都是錐形節點。我們在之前看到的3d軌域有一個錐形節點，這就是形成d軌域的原因，有一個圓錐形節點。但這個也有一個球形節點，當我們將它做切面時，它是一個圓，Okay？因此，這個軌域的能量比我們之前看到的軌域高或低？ 學生：高 教授：你怎麼知道它的能量比較高？ 學生：節點 學生：節點較多 教授：它有較多節點。你之前看過兩種不同類型節點的情況嗎？這部分有兩種，圓和線兩者都有，你之前見過任何像這樣的情形嗎？ 學生：克拉尼平板 教授：沒錯。總之它能量較高，這是4d軌域，不是3d軌域，如你所說，它像是這樣，對嗎？同時有圓和直徑節點兩種。但這是三維圖形，所以有的是圓球和錐體兩種。你猜得到5d軌域看起來會像怎樣？我們看過了3d軌域，這是一個4d軌域，那麼5d軌域呢？Lucas？ 學生：它會有第三層節點 教授：不是第三層節點，它會多幾個節點？ 學生：1個 教授：多1個節點 學生：一個圓，一個球體 教授：它會是－在這部分會有另一個圓，或事實上是一個不同直徑的球體，Okay？所以你瞭解到，在這種情況下要如何結合錐體。或它也可以是平面，p軌域中有平面，你可以結合球體和平面或錐體，你可以以不同方式將它們結合，獲得相同的能量。例如，可以結合一個球體和一個錐體，它們具有特定能量－這是4d軌域，就是這裡所看到的－或可以有兩組，不用球體而用另一個錐體，這讓你想到什麼嗎？獲得相同能量，或可以用一個平面和一個錐體；或用一個球體和一個平面；或可以用一個球體和一個錐體。我之前說過了－或可以用兩個球體或兩個平面〈訂正：錐形平面事實上是雙錐體，計數相當於2個球體(3d≒3s)，或1個球體和一個平面〉這些全都有兩個節點－大家都瞭解我所說的嗎？它們都有相同的能量，這讓你想到什麼嗎？這不完全一樣，但應該會讓你想起什麼。這就是克拉尼看到的，記得嗎？可以有不同組合，在這個情況下是圓和線的組合，並得到相同頻率，對嗎？這就是為什麼 2s和 2p軌域有相同能量，或3s，3p和3d軌域有相同的能量。Okay，我們來談談比例－關於似氫原子，似氫原子是指什麼？ 學生：單電子原子 教授：它是單電子原子；可以有任何數目的核電荷，但只有一個電子。順便提一句，為什麼我們希望它是單電子？Zack？ 學生：斥力 教授：這是一種可能性，但即使不考慮這種情形，以單電子開始進行仍有個很好的理由，請說？ 學生：否則會產生電子間的庫倫交互作用力 教授：沒錯，我們確實不希望－我們會很麻煩。當電子間有庫侖力交互作用力時，這絕對是正確的。但是，我們得在嘗試跑之前先學會走，以 3個變數進行，不是6個變數。這是2個電子時的情形，或有3n個變數，當你有n個電子時，對嗎？因此，我們在一開始使用的是簡單函數，這就是所謂的似氫波函數；只有1個電子，也只有3個變數，ρ、θ、φ是便於運算的變數。Okay，但我們希望看到，當核電荷改變時，比例如何變化。上堂課我們已開始對這個進行討論，當我們討論ρ的時候。我們將要討論的是電子密度、能量大小，以及當核電荷改變時，這些單電子原子能量如何變化。Okay，這就是我們上堂課所討論的。如果所制訂的表是使用ρ而不是r的公式，就可適用於任何似氫原子，因為距離標度會乘以核電荷。這就是說，如果有個已知的ρ，我們討論的是已知大小的波函數，ρ是已知的，若有一個較短的r值，如果有一個較高的Z，Z與r間就會達成平衡；如果使Z為兩倍，會得到r值為一半時相同的ρ。這是否有意義？當Z值變大，距離會變小，這是否有意義？為什麼？ （學生此起彼落發言） 教授：因為原子核將電子拉得更近。注意它是線性的，對嗎？如果使核電荷為兩倍，就會使距離以2為因數縮小，Okay？因此，Z增加，則波函數壓縮。對相同的ρ來說，r變得較小，也就是說，以波函數的相同高度，或波函數波形的相同位置來說。因為如果波函數壓縮的話，你必須將其再做歸一化。Okay，讓我們比較氫，碳^(+6)和鉀 ^（+19），對嗎？因此，距離比例將是1、1/6、1/19，這就是它看起來的模樣。如果氫原子是這麼大，這就是單電子碳原子大小，這是單電子鉀原子大小，為氫原子直線距離的1/19。電子密度的變化是多少？我想這是下一個要討論的。是的，以z作為電子密度改變的比例，你可以由我們剛剛的討論中得知這一點。如果以2為因數縮短距離，密度會改變多少？以2為因數，密度會變成兩倍嗎？當距離為一半時？Ryan？ 學生：2^(3) 教授：必定是2^(3)，因為這方向和這方向和這方向都會壓縮，因此，它隨著Z^(3)上升，即密度。這意味著，如果有一個氫原子，任何方向都有電子遍佈四處。但如果有一個碳原子，同樣是1s軌域，但有6倍的核電荷，密度為6^(3)大。6^(3)是多少？36、45，超過200，對嗎？所以，碳原子中的1s電子，對比於氫原子中的1s電子，會有200倍電子密度。什麼實驗會出現這情況？碳的電子密度比氫高得多，其他原子甚至更高，如鉀原子－這在哪裡出現過？請說？ 學生：等高線 教授：什麼的等高線？ 學生：分子的等高線，鍵長 教授：什麼實驗？ 學生：我忘了 教授：很接近了，什麼？ 學生：我忘了 教授：你可由計算得知，你會看到高得多的密度。我們正在討論的是理論，但你在什麼實驗中看過？Lucas？ 學生：折射差異圖 教授：不是－你是可以由差異中得到這個，但如果你看的是總電子密度，就看不到氫原子的密度。除非你觀察－很難進行。因為這是電子密度，這正是你要看的，這是高得多的－對其他原子來說。Okay，要使它歸一化為1，如果你壓縮它，得出的結果就是這些。我們之前討論過，將（Z/a_0）^3/2這個項平方，所以Ψ^（2）正比於Z^(3)，以及1s軌域的電子密度。依序來看這些原子，是1：216：7000，鉀高了7000倍，記得嗎？我們在X射線中看過的，它是個多麼暗的原子。Okay，這使得X射線更容易找出較重原子。 動能如何呢？對嗎？Ψ是r的函數，某種 r的函數，但它包含一個 Z，Z乘以 r，因為ρ是Z 乘以 r，這對導數有什麼影響？對嗎？如果有個Zr的函數，它的導數是Z乘以Z的函數－做導數－哦，這是什麼？一堆東西…我弄錯了嗎？還是對的？ 學生：正確 教授：這是正確的。沒錯，這樣做是正確。Okay，二階導數又如何呢？ 學生：Z^(2) 教授：其中會有一個Z^(2)，對嗎？因此，曲率將會是Z^(2)乘以之前的曲率，但波函數值 是相同的，在某些－與ρ對應處動能會如何？如果有個較大的核電荷，任一點的動能會發生什麼變化？對應點上的動能？對嗎？它與Z^(2)成正比，即曲率除以波函數值，對嗎？因此，以似氫原子來說，動能確實會變大－當它是較重的原子時，對嗎？ 讓我們將到目前所討論過的做個總結－距離隨Z縮小，電子密度隨Z^(3)增加，動能隨Z^(2)變化，Okay？ 位能又如何呢？它會怎樣改變－當我們改變核電荷時？如果我們改變核電荷，庫侖定律中包含核電荷，對嗎？因此，在同樣距離時，用Z乘以氫原子，在此的位能，那是高得多的，或事實上是較低的位能，負得更多，從零開始算起，Okay？但在固定距離中－就是－在一個固定的距離，位能將正比於Z，但距離是縮小的，對嗎？因此，如果看相應位置的波函數，或看平均位能，它將會－它也會變成－考慮到距離變小，r 變小，因為距離隨Z這個因數縮小，平均位能會發生什麼變化？它如何隨Z改變？Maria，你有什麼想法嗎？在一個給定的距離，能量根據庫侖定律，會乘以Z，因為有一個較大的核電荷。但每個距離隨著Z這個因數而縮小，對嗎？如果將這些平均，會得到什麼？有兩個Z因數來增加（或減少，使效應更為增加）能量，即位能，明白嗎？兩個因數，它會是什麼？ 學生：Z^(2) 教授：Z^(2)，對嗎？因此，位能－動能隨什麼改變？記得動能隨什麼比例改變嗎？ 學生：Z^(2) 教授：Z^(2)，位能隨什麼比例改變？ 學生：Z^(2) 教授：平均位能會如何變化－如果使核電荷為兩倍？它低了多少－顯然的，如果我增加電荷，電子平均能量將變低。但因為有兩個原因，因為核電荷較大，且電子接近了兩倍，Okay？平均位能將隨什麼比例改變？Z^(2)。動能隨Z^(2)改變，位能隨Z^(2)改變，總能量如何？這個比較難。 學生：Z^(2) 教授：Z^(2)，對嗎？Okay，位能隨Z^(2)改變，而總能量，這很令人驚訝，也隨Z^(2)改變，這也恰好是 1/(n^(2))，對嗎？因此，能量變成－是的，當n上升，會變得較不穩定，對嗎？R約為 300千卡/莫耳，如果你想知道實際能量的話，這是一個能量圖，這是1s、2s或2p，3s或3p，或3d，4s、p、d、f 等等，對嗎？但從零點算起的距離，即穩定所需能量，與1/(n^(2))成正比，我們看過相同的情形，在一維的庫侖定律時，能量也是1/(n^(2))，Okay？注意，l和m與這個無關，3s相同於3p相同於3d，這與你之前學過一致嗎？ 學生：不 教授：你之前學過什麼？Lexy，你之前學過任何與這有關的東西嗎？關於3s、3p、3d的能量？不。有人學過嗎？Shai？ 學生：s、p、d 教授：是的，s的能量低於 p低於 d，這兩種情形怎麼會都是真實的？當你聽過一些真實情形，我卻告訴你它們都是相同的？ 學生：還有更多電子 教授：啊哈！你所聽過的是真實原子的情形，它有很多電子。我告訴你的是，如果原子只有一個電子，s、p、d是相同的，Okay？有很多電子時，它們是不同的。我們很快就會明白為什麼。Okay，因為這是單電子原子，Okay？我們有－總結一下－大小隨1/Z改變，電子密度正比於Z^(3)，能量隨Z^(2)改變，不論是指位能、動能、或總動能，Okay。它也是1/n^(2)，大小也會是 n/Z，Okay。這個很漂亮，要進行這個，正確觀察這個，你想看到真實的東西，注意，這是一個 2p軌域，n、l、m為2、1、1，大家都知道嗎？我要給你看真正的程式運算 <<技術調整>> <<顯示盒中原子的3d軌域程式>> Okay，我要顯示－圖形只顯示出，彷佛電子都是白色的，Okay？但是，我們希望將它們的上色，根據顏色－ <<技術調整>> <<盒中原子模式>> 我們希望將它們上色，標示相位，正、負號。這是3d軌域，相位不斷變化，這與時間有關，我們沒有討論這部分，Okay？這是一個3d軌域，我們想看－我們之前看過什麼？我們看過2p軌域，對嗎？所以，我把這個3用2代替，這是一個2p軌域，特定的2p軌域，2、1、0，這是哪一個？注意相鄰處有一個坐標系統，我可以旋轉這個，我可以抓住它旋轉，這個坐標系統旋轉了，看到了嗎？ 學生：酷！ 教授：如果想要的話，我可以看它的終端，或從側面看它，這是哪一個 p軌域？ 學生：2p_z 教授：你怎麼知道？ （學生此起彼落發言） 教授：它指向Z軸方向，Okay？現在來看看另一個2p軌域。我們可以使m為1，而不是0，因此，2、1、0是2p_z 軌域，2、1、1是什麼？讓我這樣來看，這與時間相關，對嗎？很奇怪，物理學家喜歡這樣的東西，因為他們處理的是孤立原子。孤立原子有角動量，就是物體的旋轉。但當原子在分子中時，當它們伴隨著其他原子，或受其他因素影響，例如電場，它們就不會這樣作用。因此，化學家用一種不同的方式來運算這個，對嗎？這並不是說物理學家正確，而化學家是錯誤的；或化學家正確，而物理學家是錯誤的。如果你處理的是孤立原子，使用的是一種方式；如果處理的是受其他原子影響的原子，就需使用別的方式。你處理的方式，使用其他的處理方式－我會在這裡顯示，所運用的方法叫做疊加，就是說，你將兩個函數相加，得到一個新的函數，這兩個函數會相加在一起。當我點擊這裡的「疊加」時，這是2、1、1，我要用的另一個是2、1、-1，這是什麼？ 學生：2p_y軌域 教授：這是2p_y軌域。Okay，大家都知道我在做什麼嗎？因此，我可以結合物理學家軌域中的兩個，得到化學家的2p_y軌域。Dean Dauger寫了這個程式，他是一位物理學家，所以他寫的是物理學家的程式，對嗎？但我們可以將這個技巧用於化學，就是將他的兩個軌域相加，或相減。當你要相減時，需放入一個虛數i，我現在不準備做這個，你們可以自己做做看。你可以在這下面看到，可以做這個相位等等。π相位使它是虛數。我現在不準備做這個，回到PowerPoint中。 <<技術調整改變程式>> 因此，這一類的疊加，當我們將兩個函數相加，得到一個新的函數，不管出於什麼目的，這一類的疊加叫做混成。還有其他類型的混成－你聽說過混成軌域嗎？好的，就是將兩個軌域相加得到一個新軌域。讓我們看看，什麼時候會有這種情形？如我們說過的，這是物理學家的2p軌域，m = 1，具有軌域角動量，其中包含了複雜的數字。化學家的2p軌域是這個總和，Okay？ 將波函數相乘與相加，我們已經看過一個將函數相乘的例子。記得我們在哪個看過函數相乘嗎？ （學生此起彼落發言） 教授：Alison，你記得嗎？不 學生：將波函數相乘 教授：將哪個波函數相乘？我告訴你們一個波函數相乘的情形。將波函數平方就是一種相乘，可以得到機率，但我要一個不同的答案。 學生：當我們，對不同的變數－ 教授：啊，為了分離變數r、θ 和φ，我們有一個 R函數、一個Θ函數、一個Φ函數，我們將這些函數相乘得到電子的總波函數－三維波函數。這是一個你將波函數相乘的情形，得到單電子的波函數。這是－我們稱之為軌域，一個軌域就是指一個單電子的波函數，這就是軌域的定義。你可以將軌域相加，創造出一個混成軌域，這就是我們剛剛所做的－我們用兩個物理學家的軌域將它們相加，得到一個新軌域，Okay？2p_y ＋ 2p_z是一個混成軌域，一個軌域是一個單電子的波函數，它是什麼的函數？你放入什麼變數，以得到一個值？有多少個變數？Sophie？ 學生：三個 教授：三個，是什麼？ 學生：這些 教授：這個電子的位置。一個電子的位置，如果它是一個單電子軌域，你可以將這個軌域寫成許多部分－這裡有兩個部分，對嗎？但它仍只是一個單電子的位置函數，不是6個、或18個或任何數目的變數，它只是一個函數－它是一個軌域，一個單電子的函數。你插入的是一個單電子的位置，你可以藉由混成改變軌域方向。讓我們看看這個，這是2p_z軌域，我旋轉坐標系統，使z軸為水準，Okay？這是2p_y軌域，我們已經由將兩個物理學家的軌域相加，得到這個，Okay？會發生什麼－注意2p_y軌域，它指向y軸，2p_z是指向z軸，如果我將這兩個軌域加在一起會如何？如果我將2p_z和2p_y加在一起會如何？讓我們回頭看2p_z一下。注意，紅色在左側，藍色在右側，假設正數在左側，負數在右側，大家都懂嗎？因為它指定了空間中不同點的數字。正數在左側，負數在右側，假設是這樣。這個是指定正數在頂端，負數的底部，假設我將它們相加，會得到什麼？Andrew？ 學生：得到對角線 教授：啊，它們會在左上角增強，它們在那裡都是正值。在右下角處，兩者都是負值。但在左下角和右上角，它們會互相抵消，Okay？如果將它們相加，做一個加權總和，我們不需要以50:50將它們加總，但我們先從50:50相加開始，Okay？如果我們以50:50混成將它們相加，會得到這個，就像你剛剛說的，Okay？藉由將兩個軌域相加，我們改變了p軌域的方向，Okay？假設我們不用50％，而用另一種比例混成；假設我們用75％，對嗎？或50％，或25％，Okay？因此，在那個平面上，在yz平面上，藉由調整比例，你可以得到任何想要混成的方向，Okay？這是2p_y軌域。 如果你把2s軌域放在電場中，會發生什麼情形？你改變了規則，改變了位能，因為現在電子有－不只是－它的能量不只是取決於與原子核的距離，也取決於它在電場中的位置，所以我們改變位能的定義，所以這是一個不同的量子力學問題。但我不希望你朝量子力學方向思考，我只希望你思考會發生什麼情況。如果你放入一個電場，你怎麼想呢？ 學生：它不會－ 教授：它會使原子移動嗎？ 學生：是的 教授：不，因為整個原子是電中性的，我們這裡使用的是一個氫原子，原子是電中性的，所以它不會移動。會發生什麼情形？ （學生此起彼落發言） 教授：如果你使品質中心保持不變，電子會向一個方向移動，原子核會向另一個方向移動。原子核將很難移動，大部分移動都是電子所做的，Okay？所以，你可以藉由混成改變形狀。我們可以得到一些在電場中運作的東西，描述一個電場中的原子－藉由與不在電場中的原子混成。我們看看如何做到這一點。我們做出一個sp ^（n）的混成軌域，你見過這個嗎？ n是一個數字，你能給我一個例子嗎？2，sp^(2)，或是什麼？ 學生：sp^(3) 教授：sp^(3)或sp，n是1，對嗎？或sp^(0)，你見過這個嗎？ 學生：不 教授：sp^(0)就是s軌域，這是其中有多少p軌域的意思，在你將它平方後。這是，它是一個加權總和，就是你用的這個。你有不同的a和b值，它被加權，所以－當你將它平方，得到一個a^(2)，這是2s平方的分量，這就是2s軌域的分佈情形。b^(2)是p_y平方時會有的分佈情形。但你也得到了一個交乘項－2ab 乘以 2s乘以2p。Okay，這個n，就是你所放入描述關於sp^(2)、sp^(3)等等的數字，就是b^(2)/a^(2)的平方。因此，如果你有一個sp混成軌域，意味著s和p的比例是相等的；如果是sp^(3)軌域，這意味著在平方之後，p是s的3倍。Okay，所以這就是你所得到某項的分量，如2s平方和2p平方還有這個部分。Okay，現在我們來看看一些例子。假設 n是0，你只有單純的s軌域，Okay？假設你放入一個電場，它會使電子偏移，會將正電荷推向右側，將電子推向左側，Okay？讓我們－在這裡，我們用0.02，這是極小量的p，看看它是如何－這是回到s軌域的圖，這是sp^(0.02)軌域，它使電子偏移到左側。如果我用一個更高的值呢？0.04、0.06、0.09、0.11、0.18、0.25、0.33，我所做的就是，轉動一個調控器，，藉由改變混成比例，使電子－使電場變強－使電子偏移。Okay，0.5，1－這是一個 sp混成軌域。如果我繼續進行，會發生什麼情形？例如使它為一個sp^(2) 混成軌域，你覺得會發生什麼情形？猜猜看。 學生：它會越來越移向右側 教授：它會繼續向右側移動，錯！看這個。這是sp軌域延伸的最大極限，這是你可以延伸的最大值。現在看看會發生什麼情形，如果我使它變大－sp^(2)，sp^(3)，sp^(4)，sp^ (9)，sp^(24)，單純是 p，對嗎？因為純 s和純 p兩者都是對稱的。50:50的比例混成，是向左側偏移最多的一種。 Okay，現在我們要結束這個，進行超出我們已經看過的範圍。我們看過的是一個單電子原子，似氫原子。我們發現，可以將R、Θ、Φ各項相乘，創造這個單電子波函數這個軌域。我們可以進一步將這些相加，形成混成軌域，以有效的方式使粒子偏移。例如，我們可以將軌域相加，形成sp軌域，就像是在一個電場發生的情形。但它仍然是一個軌域，因此它可以調整成新的狀況，例如一個電場－亦保持原子核位能真實解的優勢，因為你不會將一個與接近原子核的電子所感受到的相同強度的電場放入轉動調控器。而加入的外在電場只是一個小的變化。所以，你希望粒子看起來相當像它原本的模樣，以原子核來說，只是一點點變化，你可以藉由混成做到這一點，Okay？大工程是，在小距離時的原子核位能。 讓我們試著看看兩個電子的波函數，Okay？它是什麼的函數？兩個電子的波函數是什麼的函數？其中有多少變數？ 學生：6個 教授：沒錯，6個，對嗎？一個電子的x、y、z，以及另一個電子的x、y、z。或一號電子的 r、θ、φ，及二號電子的r、θ、φ。它們在同一個原子核上，所以你由同一點開始測量距離，但有兩種不同距離－一個是一號電子的距離，另一個是二號電子的距離；它們可以是相同的，但並不一定得相同，它們可以是不同的，Okay？這會是簡潔的函數嗎？這是個問號，如果我們可以藉由將兩個單電子的波函數相乘得到這個，因為我們有一個完整的單電子波函數查閱表，可以得到確切的函數。如果我們取其中兩個，將其相乘；一號電子的A軌域乘以二號電子的B軌域。記住，這些只是數字，如果你將一些一號電子位置的值，及一些二號電子位置的值放入第一項，會產生一個數字；第二項會產生一個數字。如果你將這兩個數字相乘，會得到總波函數的數字，這是非常棒的，是嗎？因為你會知道該如何做這個。問題是，你能做出這個嗎？請記住，一個軌域是一個單電子波函數，因此，我們可以使軌域相乘而得到多電子波函數嗎？如果我們可以－當然，我們將它平方得到機率密度，這會是一個不同的機率。在第一種情況下，一號電子的機率在這裡聯合機率是，一號電子在這裡，同時二號電子在這裡。這就是當你有6個變數時的機率，Okay？是不是很棒？這正是天堂，對嗎？ 因為，如果有很多電子，我們只要將一號電子的特定軌域，另一個二號電子的軌域，另一個三號電子的軌域，所有這些軌域相乘。我們知道如何寫出這些；將它們相乘可以得到答案。我們發現，總能量就是一號電子的能量加上二號電子的能量，這很棒。我們找出總電子密度，我們知道如何找出個別電子的電子密度。因此，總電子密度應該是這些的總和。如果我們對這個特定點的總電子密度有興趣，我們就看看，在這點上，一號電子的電子密度為何？以及這點上，二號電子的電子密度為何？將它們相加，就會得出這一點上的總電子密度。因此，總電子密度是x、y、z的函數，就是這個運算x、y、 z，加上運算結果，加上所有其他的項，超棒的，對嗎？然後你可以寫出式子。所以，整體就是部分的總和，對嗎？你可以寫出像頂端這樣的式子，氖有這個組態；兩個電子在1s軌域，兩個電子在2s軌域，兩個電子在2p_x軌域，2p_y軌域，對嗎？像這樣的式子－你見過像這樣的式子。因此，這些是電子所在的軌域，用來描述氖原子，對嗎？這是一個聯合機率的問題。這就像擲兩枚硬幣，試著得到兩個頭像。我不知道是否能同時得到這個。我有兩枚25分硬幣，我需要你的手背。Okay，我得到的反面，你得到什麼？ 學生：頭像 教授：頻率是多少？ 學生：一半的次數 教授：一半的次數。事實上，如果我得到反面，你得到頭像，這是1/4的次數。 學生：是的，這是1/4的次數 教授：但有1/4的次數你會得到反面我得到頭像，因此，頭像/反面是一半的次數；頭像/頭像呢？頻率如何？ 學生：頭像/頭像，還是1/4的次數 教授：1/4的次數。現在，我跟你打賭，我跟你賭我有一半次數可以得到頭像/頭像。實際做這個實驗。 學生：是的 教授：你想賭嗎？我建議你別賭 （笑聲） 教授：Okay，這就是我要做的 << McBride教授將25分硬幣綁在一起>> 教授：兩個反面，我輸了 （笑聲） 教授：哎呀 （笑聲） 教授：兩個反面，我又輸了。不過，我想，你可以看到，如果做了很多次，我會贏得一半的次數，為什麼？為什麼規則錯了呢？ 學生：因為它們不是獨立的 教授：因為它們不是獨立的，對嗎？如果它們是獨立的，A和B兩者的機率，也就是說，A的機率會在這裡，同時，B的機率會在這裡，這會是機率的乘積。但如果你這麼做，就不再是真實的了，對嗎？因此，如果你有一個兩個電子的波函數，你將它平方，獲得聯合機率，是嗎？一號電子會在這裡，二號電子會在這裡，在同一時間這是可行的。將它相乘－我將個別機率相乘，就是在特定位置的A電子，及在另一個位置的B電子；我能用這種方法得到聯合機率嗎？在什麼情況下，我能用這種方法得到聯合機率？ 學生：如果它們是獨立的 教授：如果它們是獨立的。這裡有個大問題，它們是獨立的嗎？ 學生：不 教授：為什麼不是？ （學生此起彼落發言） 教授：因為庫侖定律它們互相排斥，它們不可能是獨立的；它們會互相排斥。因此，用軌域，用單電子波函數來表示多電子波函數，不會是正確的。軌域不是真實的－除非對單電子問題來說，對嗎？對似氫原子來說是沒問題的，我們已經完整做出了氫原子。但如果有超過一個電子，軌域理論將不適用，但我們仍然會使用它。 （笑聲） 教授：是嗎？這就是你們在考試後要學習的。Okay，祝你們好運，所以這個公式不可行。祝你們考試好運！ 2008年9月24日