克拉尼圖形與單電子原子

講座九

McBride教授在講述如何用雙重最小值位能得出一維鍵結後，接著講述多維波函數。求薛丁格三維微分方程式解可能會是艱鉅的工作，事實上卻並非如此；因為必要的公式早在一個多世紀前，即因聲學的發展而建立。聲學「克拉尼」圖形顯示出節點圖形與頻率的關聯性。這個類似性藉由研究「似氫」單電子原子波函數形式得出。將歸一化常數從相似軌域公式中移除，顯現出軌域基本的簡單形狀。

講座九：克拉尼圖形與單電子原子

    教授：Okay，所以我們有一切知識的承諾，至少是某類知識的一切承諾。我們上次看到可以如何看待量子力學的能量和結構，與結構有關的動力學，原子核如何振動，以及它在重原子上有何不同。今天，我們要再次研究不同種類的動力學，還有鍵結。在一維世界是可行的，我們必須看看三維世界的情形。 Okay，你們做了今天的問題集，現在已熟悉了像這樣的方法。你對這裡的藍色曲線和紅色曲線知道些什麼？誰能提出該怎麼做的建議，或這個圖告訴你真正的解是什麼？請說，Angela？ 學生：似乎真正的解是在它們之間的某處 教授：我聽不太清楚 學生：似乎真正的解是介於兩者之間，因為它看起來像－ 教授：是的，真正的解應介於它們之間，紅的太熱，而藍的太冷，對嗎？因此，以虎克定律來說，解會在它們之間，會有一個向下回歸基線方向的曲線。現在問題是，這不是虎克定律，因為我沒有向你顯示整個情況。這事實上是雙重最小值，對嗎？這兩個都是實解，因此，正確的能量單一最小值會落在這兩者之間。但對雙重最小值來說，會有一個能量較低的解，以及一個能量較高的解。如果我們將能量阱移開較遠距離，會發生什麼情形？你看到這兩個阱的距離為 0.6埃，假設我們把它移開到1.3埃，對嗎？現在我們有藍色和紅色兩個解。但注意到，藍色解或紅色解同樣在左邊，它們同樣有單一最小值，所以如果你使阱相距夠遠，它們會看起來像其波函數的單一最小值，Okay？ 現在，阱距接近－如果我們使阱距更接近，會得到一個較低的最小值，比單一阱的解更低，Okay？我們得到一個更高的下一階能量，但兩者看起來都是單一最小值，兩者都開始於阱距變遠時，看起來像單一最小值解；一個沒有節點，一個有一個節點。當阱距變遠時，它們有相同的單一最小值能量，但是當阱距接近時，沒有節點的曲線有較少彎曲，動能較少，能量比單一最小值低；有一個節點的曲線，比單一最小值有更多的彎曲，能量也較高。這就是說，在這兩者間有能量分裂的情形。如果阱距遙遠，它們會有相同的單一最小值，對兩者來說都是；無節點和一個節點曲線的解，有相同的單一最小值。但如果把它們拉近在一起，無節點曲線能量較低，一個節點曲線能量較高。 因此，對原來的單一最小值結構來說，有能量分裂情形。這個相當重要，因為這就是鍵形成的原因，對嗎？如果有兩個原子或相距甚遠一維阱，假設是 A和B，我們得到一個A的解和B的解，如果我們想得到整體的解，只要像這樣把它們放在一起，沒有節點；或可以使 B 上下顛倒，用-1乘它，將它們加在一起，我們會得到一個節點。但它們有相同能量，和單一曲線一樣，對嗎？但如果將它們拉近在一起，能量會變得較低，彎曲較少，對嗎？這個組成使得粒子傾向穩定，粒子在阱距彼此接近時較穩定，對嗎？你會怎樣稱呼它？ 學生：一個鍵 教授：這是一個鍵，當它們彼此接近時能量較低。它使 A和B連接在一起，因為當阱彼此接近時，粒子能量較低，這就是鍵結。在部分情況下，當曲線顛倒時，你會得到這樣的波函數，它是能量較高的，我們稱之為什麼呢？ 學生：反鍵結 教授：反鍵結。因此，你得到一個鍵結與反鍵結的組合，因為動能改變了，當阱彼此接近時，你得到一條彎曲較少的曲線，一條彎曲較多的曲線，Okay，這就是鍵結。動力學的情形如何？假設有這個雙重最小值，且假設我們將一個粒子放入，並使它在這裡停下，它會有零－這是能量為零之處－，然後我們放手，如果是古典力學，會發生什麼情形？它會來回滾動，對嗎？賓果，放手囉！滾過去，到同樣的高度，再度滾回，然後再滾過去，到相同的高度，沒有摩擦力的話，它會永遠這麼滾動，對嗎？但在真實的量子機械系統中，會發生某種特殊情形。哎呀，它走得太遠了－現在它會在右側來回滾動，但有時它會跨越過去，從一個阱到另一個阱，這被稱為穿隧，原因很明顯，對嗎？但我討厭穿隧這個詞，這是我的一個小毛病，這是誤導、胡扯，因為這表示對位能來說有個奇怪之處；你可以穿過隧道，並有個比你由位能曲線所猜測還低的位能，但這是不正確的。發生的情況是，當它在中間時，會有負的動能，你會得到曲線顯示出的位能，但動能是負的，位能會高於總能量。這在每個鍵和波函數都會發生，如你在問題集中所見，波永遠是向外進入負動能禁區，在那裡，它們朝遠離基線方向彎曲，因此，存在有禁區，在左側外；右側外，中間也有，對這個能量來說，對嗎？真正的情況是，你到負動能和高的正能量區域，越過這個峰，然後穿越到另一邊去。 這種情況多常出現？這是以從一個阱到另一個阱的時間表示，我無法證明給你看，因為它需要與時間相關的量子力學，而我們談論的是與時間無關的量子力學。但我可以告訴你，答案是，如果你知道藍色和紅色曲線間的能量差，穿越速率是 5 × 10^-14 秒，除以能量差，單位以千卡/莫耳表示，對嗎？這只是一個說法，基於與時間相關的量子力學，這是事實，但我不會告訴你為什麼，我希望你不會就此滿足，Okay？這裡的能量差是1.4千卡/莫耳，一個粒子會有多快從－如果它由左側開始，以平均值來說，直到它到右側，你必須等待多久？你必須等待 5 × 10^-14 除以1.4，約需 4 × 10 ^ -14秒。引用「隧道」這個詞好了，雖然它事實上並沒有穿越孔，而是越過負的動能。Okay，還有其他關於動力學的部分，我希望能儘快談到反應，但這會在考試後才談，在我們談過原子和分子之後。 目前看來，我們處於一個非常有力的位置，至少就一維來說。因為用這個Erwin程式，我們對任何複雜的位能，都能找到理想的波函數，我們可以得出任何想要的波函數，只要依照這個程式，找出允許能量，函數形狀，機率密度，穿隧速率，所有這一類的東西。我們可以以能量排列所有波函數，或其曲率－即它們的節點數。這是一個不理想的波函數，注意到它哪裡糟糕嗎？只是證明一下你已學到了一些東西？請說。 學生：它不是由基線開始 教授：它不是由基線開始，以左側來說，右側如何呢？右側看起來沒問題嗎？ （學生此起彼落發言） 教授：Lucas？ 學生：它傾向於下降 教授：啊，它穿越基線，進入禁區，如果曲線向外延伸時，越過了基線，如果它穿越到另一個方向的話，必定會前進到負無窮，或正無窮處，對嗎？在左側，當它變平時不會到達基線，它會繼續彎曲，上升到無窮遠處。現在你們腦中已有許多這類的概念，祝福你們能做好關於這些的問題集，Okay？所以這是一個不理想的波函數。Okay，看來這是非常好的圖形，我們甚至可以處理多個極小值，並理解穿隧等等。不幸的是，這個曲線追蹤程式，在更多維時並不可行。記得嗎？它可行的原因是，如果你知道位能和總能量，你會知道動能，就可以指定曲率，對嗎？但如果是二維，就會有兩種不同曲率是你可以指定的，但你不知道個別曲線該指定多少曲率，因此，如果有更多的維度，尤其是三倍數的維度，這不再是一個明確的問題。因此，當有很多曲率時，就無法清楚知道該如何將它分配到動能中。 但薛丁格沒有這個困擾，薛丁格方程式就是所謂的微分方程，其中包含了導數，對嗎？有多少人已學過微分方程？Okay，我猜也許有五分之一的人，或更少，對嗎？其餘的人會想：「哎呀，我希望我瞭解微方程，這樣我就可以做這個了。」但不需要，因為人們已經完成它了，你不需要從零開始做這個，對嗎？薛丁格也沒有解出這個微分方程式，他知道解是什麼，因為人們一直在研究它，他們研究的原因是，因為研究聲波，還有光，克拉尼是始作俑者。 這裡有一本克拉尼寫的，名叫《聲學》的書，是我從圖書館借出的，這事實上是新的，1830年的未改版版本。最初版本大約在1805年出版，差不多這個時間，我在這裡看到的是如此。這是克拉尼；恩斯特‧弗洛倫斯‧弗裡德里希‧克拉尼；這是那本書的書名頁，《聲學》原版是1803年的版本，我們的是1830年的版本。Okay，他所做的是用不同平板－他也用小提琴弦和定音鼓鼓皮之類的物體，他對各種聲學都很感興趣。我們特別感興趣的實驗是，他將一個平板由中間懸空，接它不同的地方，用弓拉它，用小提琴弓使它振動，Okay？用弓拉平板不同地方，在平板表面灑上沙，看看平板震動時沙形成的圖形，這就是為什麼小提琴會有那樣的形狀，這樣它就會以特定方式震動。當你拉它使它震動時，沙聚集在平板不振動的地方，因為當它振動時，使沙搖動分開，所以可以得到振動的圖形。 我將試著顯示給你們看，但可能無法運作，若有這種情形，我會連上網看看。這是一個－我不會拉小提琴，但我會使鈴響。事實上，我可以用幾種方法使鈴響，不只是這樣，我也可以這麼做。 （鈴聲） 這不是很美妙的聲音，為什麼？為什麼它－什麼是噪音？我不是很擅長按鈴。 （鈴聲） 為什麼乾冰能使鈴響？這是由一個倫敦的霜淇淋商發展出的，他的霜淇淋車有個鈴，他問一位物理教師－一位倫敦女子，當霜淇淋中的乾冰擊中鈴時，為什麼他的鈴會響？ （鈴聲） 看，當你碰觸像這樣的金屬時，它將熱量釋放到乾冰，導致它釋放出氣體壓力。但是，當壓力消散，金屬移開，熱不再傳遞，它就停止了。所以，CO_2的快速脈衝使得鈴響，但這要看你如何接觸它。會產生噪音，是因為當不同頻率產生時，有很多不同的振動模式，如果我能做到恰到好處，會只產生單一的音調，然後你會說，「他是個多棒的按鈴高手啊！」Okay，現在我要嘗試一下，可能會同樣失敗；做像克拉尼做過的實驗，但不用小提琴弓－我要將沙放在這裡，不用小提琴弓，我將用這塊乾冰代替，Okay？我必須－如果我只是觸摸它，不會發生任何變化，因為我碰觸沙，不會使熱傳遞，我要刷掉一點點，使黃銅有部分乾淨的地方，看看會發生什麼情形。 （鈴聲） 我現在做的與按鈴時相同，對嗎？這只是噪音，我嘗試一下別的地方，這是一種經驗科學。 （鈴聲） （驚訝的聲音和笑聲） 試試別的地方，在這裡灑一點沙，幸運的話會很棒。聽到單一的音調嗎？也許還不夠清晰，我不想花太多時間做這個。 （鈴聲） 我想再試一次，然後我們要－你可以上網看到更好的演示。有一次，我做出的恰好是失落的和絃，真正優美的音調，你可以在網站上看到它。 （鈴聲） 我試圖找到位置，及有多難觸及真正單一音調。 （鈴聲） 你可以用這個方法得到圖形。Okay，你可以得到更漂亮的圖形和音調，比我現在做的更好，你可以在網站上看到。 （投影片調整） Okay，這是我過去所做一些粗略的克拉尼圖形。三個環，兩個環，中間有一條垂直穿過的線，這是我們剛剛做出的，不是嗎？數目相同嗎？一個環和三條直徑，這是一個圓環和四條直徑，事實上，這是我去年在課堂上做出的。Okay，這些是過去克拉尼在18世紀末期做出的，來自這本書的圖形，對嗎？第一行只有直徑，下一行有環及一些特定數目的直徑，或兩個或兩個以上的環，讓我們看看圖形代表的意義。下面是一個垂直直徑和兩個環，頂端所見的色標代表平面在瞬間的振動，無論它是朝向你或遠離你，當它振動時，這就是圖形。這些線是不動的，但線的任一邊，一邊向上移動，另一邊向下移動，Okay？或者你可以用這種方式來看；當其餘部分變形時，虛線圖形、圈及線是不動的，這就像定音鼓鼓皮，瞭解嗎？所以這是動態圖形。 克拉尼對聲音很感興趣，對嗎？於是，他找出了與個別不同圖形相符的音調，這個表顯示出直徑數，其節點數，圓環的節點數，以及它對應的音調。小線條可能代表著有點尖或有點平之類的，例如，有兩個直徑，沒有環，表示C調，瞭解嗎？所以，他試圖找出這些圖形間是否存在著數學上的關係，這是他發現的47個圖形。因此，他說：「音調間的關係近似以下數字的平方」。因此，有多少直徑，多少圓環，他認為，頻率約為直徑節點數，加上兩倍圓環節點數，以上總和的平方，這是他的經驗觀察。例如，你可以有2個直徑或1個圓環，兩者都會得到2這個數字，將其平方後得到的數目正比於頻率，對嗎？因此，有兩種不同方式可以得到相同音調，這是關鍵－即環或線的數目。你也可以將環和線組合，因此，頻率越高，就能得到越多相同音調的組合。例如數字 8，可以是4個圓環；3個圓環和2條線；2個圓環和4條線；1個圓環和6條線；或8條線；這些組合都會得到數字8及相同音調，至少是近似的音調，Okay？因此，這是他－我們要學習的是，有不同途徑可以得到相同頻率，就是這些節點的組合。 Okay，克拉尼並沒有用數學方式解決平板、弦或其他物體如何震動的問題。也有傑出數學家進行這方面的研究，如伯努利、拉格朗日、歐拉；歐拉的肖像不僅印在前東德郵票上，也印在瑞士10法郎鈔票上，Okay？Okay，單電子原子的Ψ－現在，我們的討論將從一維進行到三維。對真實原子來說，電子和一個原子－所以，對單電子原子來說，將有三個變數，即電子的 x，y，z，而它的解，即我們將得到的波，包括所謂的球諧函數，它是類似克拉尼二維圖形的三維函數。這些數學家可以在三維及二維運作函數。Okay，一個三維氫原子波函數Ψ，可以寫成三項函數的乘積；一個 R函數、一個Θ函數及一個Φ函數，這些函數都是舊時數學家已知的。R函數即所謂的連帶拉蓋爾函數，這是以愛德蒙．拉蓋爾命名的。Θ函數即所謂歸一化連帶勒讓德多項式，這是以阿德里安．馬里．勒讓德命名的。Okay？這些是解。薛丁格並沒有找出這些解，他只是查閱而已。這些數學家已完成了，在聲學及三維物體振動等方面，對嗎？所以你可以使用這個表，跟薛丁格同樣的使用方式，找出單電子原子波函數的實際模樣。在你所有書中都有這些東西的圖片，但你從來沒見過－我猜你從來沒見過真實物體，你應該會想說，「這些我看過的圖片，確實是真實模樣嗎？」 （投影片調整） 你如何理解這些？這個表看起來相當複雜，在某種意義上確實如此，但如果你用適當的方式來看，它真的很簡單。它與一個電子相對於原子核的位置有關，顯示在右邊。它只有一個電子；它是一個單電子原子，否則我們會有更多的維度。但原子核可以有任何電荷，因此，它可以是有任何核電荷的單電子原子。我們有座標x，y，z，有一個位能。我們已知的是什麼位能定律，誰的定律？ 學生：庫侖 教授：庫侖定律。因此，它是1/r^2。r^2可以寫成什麼？r^2 就是 x^2 + y^2 + z^2，對嗎？大家知道這個嗎？大家都知道嗎？很好，點頭，是的；很好，okay，我們都跟得上。Okay，但這是一個相當複雜的函數，對嗎？包含這些項的方程式將是非常非常複雜的，但有個聰明的方法可以克服這一點。知道是什麼方法嗎？有什麼聰明方法可以克服這個？這個解決問題的聰明的方法是改變系統的座標，使用一個對問題來說更自然的座標。對問題來說更自然的座標就是球極座標，因此，這三維是r，即距離；和θ，即從z軸算起向下的角度；和φ，即由x軸算起旋轉的角度。 學生：是不是應該反過來？ 教授：你可以用任何你想用的方式定義它，這是它為這些目的所做的定義，Okay？這樣大幅簡化了位能運算式，不是 1/√（x^2 + y^2 + c^2），它是1/r，或某些常數除以 r，Okay？這是指－這就是數學有用的地方。這個波函數可寫成三個函數的乘積，每個函數只有一個變數，不使 x^2、y^2和z^2全混合在這個複雜的函數中，而得到一個只有r的函數；一個只有θ的函數；一個只有φ的函數；將它們相乘，會得到單電子原子的薛丁格方程式解。這個－這個表為你提供了這些函數；函數R、函數Θ及函數Φ。這就像在餐廳中，你要選擇一個來自A欄位、一個來自B欄位、一個來自C欄位的功能表選項，對嗎？這是你的開胃菜、主菜和甜點，對嗎？所以你選擇這其中一個，這其中一個，這其中一個，將它們相乘，就得到了真正的函數，對嗎？ 它們看起來非常非常複雜，你不能選擇任何想要的組合，一旦你選擇其中之一，一旦你選擇了開胃菜，就只能選擇特定的主菜；一旦你選擇了主菜，就只能選擇特定的甜點，來得到函數解，對嗎？這是這些數學家們得出的結論，Okay？我們該怎麼做呢？我們可以命名Ψ，用個別名，如1s或2p_x，或類似的名稱，你也可以用個別函數的量子數命名Ψ，就是 n、l和m，我想你們之前可能有遇到過這些，我們來試試。不，我們先注意一下函數的複雜形式。首先，它們每個都有（Z/a_0）的3/2次方這個項；Z是核電荷，a_0是一個長度單位，約為0.5埃。Okay，3/2次方看起來很奇怪，還記得你要用波函數做什麼嗎？你要用波函數做什麼？除了尋找能量以外？ 學生：機率 教授：找出機率密度。你會怎麼做，Sam？ 學生：將它平方 教授：將它平方。因此，當你將它平方，會得到（Z/a_0）^ 3，大家都同意我說的嗎？Okay，這表示說，你會得到機率密度的單位，即每單位體積Z^3。因為 a_0是距離，因此，a_0^3是體積，因此，會得到一個數字－核電荷是z這個數字，原子序是一個數字，因此，會得到一個單位體積的數字。這是機率密度的正確單位，就是指單位體積的數字是什麼，Okay？因此，這僅僅是你用來做正確度量，以得知正確的密度和單位。因此，你可以先不管這個，這基本上不是我們有興趣的部分。Okay，我們試著做做看1s 軌域，從哪裡開始呢？有人可以告訴我從哪裡選擇嗎？這並不難，它們用紅色標記了，對不對？如果你想做1s軌域，就選擇頂端的那個，Okay？如果你做出這個的話，n是1，而 l是0，所以，在下一欄位中，l必須為0。現在，m可以是0或1，或，不，等一下，如果 l是 1－不，如果l是0，m必須是0，這是第二欄中顯示的，大家都看到了嗎？看最頂端那個？它說，如果l是0，m會是0；l，m，Okay？對m來說，抱歉，若不為0，像是這裡，必須有一個比0大的l，Okay？因此，要得到解的話，如果你選擇n是1，l就必須為0－記得嗎？因為那是這裡唯一的選擇，不能有一個更大的l。那麼，m也會是0，所以，你要將這個乘以這個再乘以這個，Okay？這些函數有多複雜呢？Okay，√2/2，這只是一個常數，不是函數，或1/√（2π），對嗎？大工程。為什麼這裡有這些常數？為什麼你會在意用什麼常數乘以波函數？ 學生：不知道 教授：目的是什麼？ 學生：歸一化 教授：為了歸一化，對嗎？如果你想得到－但如果你想得到的只是形狀，就別理會常數。1s波函數真正有作用的是哪一部分？什麼部分是變數？這裡有(Z/a_0)^3/2，別理會它；2，別理會它；√2/2，別理會它；事實上這兩個2會抵消，這裡的√2會抵消那個√2；所以它是1/√π乘以這個，乘以什麼？e^(－ρ/2)，這是波函數真正運算的部分，對嗎？當你將它平方，會得到什麼？對e^(－ρ/2)來說？e^(－ρ/2)平方後會得到什麼？請說，Alex？ 學生：e^－ρ 教授：e^－ρ，Okay，那麼機率密度將是e^－ρ乘以一個常數。Okay，我們得出了這個，這是一個常數乘以e^(－ρ/2)，當我們將它平方，得到e^－ρ。現在，有些事－這裡有兩件事很有趣；第一，我們希望得到一個r的函數、θ的函數和φ的函數，但我們在這個函數中沒有看到r，對嗎？我們用ρ代替。為什麼我們用ρ代替r？這樣做有個很好的理由，ρ的定義－事實上是r的希臘字母－它定義為r乘以一個常數，這個常數是原子序乘以2除以n，量子能階 n；乘以距離 a_0。為什麼要這樣做？因為如果這樣做，同一個ρ就可以適用於函數運算，無論核電荷是多少，無論n是多少。所以，你得到相同的－因此它使得這個表非常簡明，不管你運算什麼原子，如果你用ρ單位做運算而不是r的話，都可使用同樣的項。這是r的比例大小，考慮這個事實，你可以使用於不同的核電荷。Okay，你可以使用相同的e^(－ρ/2)，對任何核電荷Z和n來說。請注意，這些都有e^(－ρ/2)這個項。為什麼這是有意義的？為什麼這些都有e^-r是毫不奇怪的？我們之前有見過e^-x這個波函數嗎？什麼樣的波函數－這是什麼意思？當你有e^-r時？ （學生此起彼落發言） 教授：這是一個不變的負動能，這是任何原子核和電子都會發生的情況，一旦電子到相當遠處，能量就停止變化，對嗎？因此，位能不變，動能不變，對嗎？如果電子束縛在原子核上，這意味著它無法遠離到無窮遠處，對嗎？所以它會低於極限位能，就會得到不變的負動能，當遠離原子核時，對嗎？因此，e^－ρ。所以，這並不令人意外，這些都有e^－ρ。 Okay，我們很快的看看這個標度。Okay，這是e^－ρ和ρ，為ρ的函數，Okay？現在假設－我們可以重組這個；r是那個，如果我們想做個新圖表，使水平軸為r，當作距離，而不是用ρ。Okay，所以氫原子的r，氫原子的1s軌域為 0.53埃－所以n是 1，a_0是0.5埃，Z是1；所以這是0.53/2乘以ρ，因此，我們可以用一個新的標度。所以這是氫的0.5埃，這是氫的1埃。到目前為止，大家都聽得懂嗎？都瞭解我怎麼做的嗎？對嗎？我只是這麼做，找出任何給定的ρ。這裡，我已經有一，二，三，四，五，e^－ρ。對於任何給定的ρ，r是什麼？如果我討論的是一個氫原子？Okay？ 我只是在這裡放上一個新的標度。如果談論碳原子，它的核電荷是 + 6，數字Z會大得多，將是6倍大。對標度會有什麼影響？假設我們的ρ是5，對這裡的Z來說，不是除以1，而是除以6，所以會得到短得多的距離，我是指真正的距離，不是ρ，對嗎？這是否令你感到驚訝－這個函數會壓縮，如果是一個 +6的核電荷。你是否感到驚訝？這是你所預期的，較大的電荷會將電子吸的更近，Okay？如果我用碳來做，會得到0.53/12，而不是0.53/2，標度會看起來像這樣，而不是這裡氫的0.5，它是0.1，對嗎？所以，如果我將它壓縮，就會有相同的標度。這些是碳和氫，以不同埃標度來看，如果使它們有相同的標度，較大的核電荷以6倍因數吸引1s函數，看起來像這樣。但現在，當然，如果我想要真正的歸一化函數，它會是較高的，因此，總面積會是相同的。這裡有函數平方，e^-ρ，記得嗎？波函數是e^（-ρ/2），密度是e^-ρ。 要得到相同的r，我必須將它乘以6，它會像這樣，這就是徑向分佈情形。機率密度分佈看上去是不同的，對 +1核電荷或 +6核電荷的單電子原子來說，碳對其核電子的束縛比氫緊得多；不令人意外，Okay。這裡的有些需要思考的東西，這會有什麼不同呢？如果不是討論碳原子的1s軌域，而是討論碳原子的2s軌域？對嗎？現在，ρ會變得不同，在這裡，它不是1，而是2。因此，會以2這個因數改變標度。因此，2s軌域是更外層。Okay，我希望星期三由你們來做這些問題，你們也可以分組來做。一些是關於克拉尼圖形，一些是關於能量和一些原子軌域問題，Okay？ 現在我們已經看了1s軌域，讓我們來看看其他原子軌域。順便提一下，這個函數，庫侖函數，在三維時比在一維簡單，它在一維時很複雜，記得嗎？它的圖形有個尖端，這是一個非常複雜的函數，但它在三維時很簡單，它只是r的指數，它如何隨θ變化？當由軸向下時，波函數如何改變？在1s軌域時？這個圖顯示些什麼？它會隨θ變化嗎？ 學生：不會 教授：不會。它會隨φ變化嗎？ 學生：不會 教授：不會。它會是什麼形狀？ 學生：一個球形 教授：它是球形對稱的，只與r有關，它與r的關係就像π一樣簡單，就只是e^-r或是ρ，取決於你用什麼單位衡量r。Okay，現在讓我們來看看2s軌域。告訴我該怎麼做，如何用這個函數表寫出一個2s函數？首先，我必須選擇開胃菜，我該從哪裡開始呢？ 學生：第二個 教授：下來第二個是2s，Okay？因此，我取這個，現在，2s這意味著l為0，我該往哪裡去；往什麼方向進行？這裡。然後往什麼方向進行？ 學生：直接越過到另一欄 教授：直接越過，因為m是0，Okay，所以這裡－這是2s函數；將這些乘在一起。有趣的是，這裡有很多常數，是已知的－可使其歸一化，這是一個常數，這是一個常數，像之前一樣；這是一個常數，這是一個常數，但這部分很有趣：（2－ρ）乘以e^(－ρ/2)，這就是我們感興趣的函數。（2－ρ）乘以e^(－ρ/2)，這會產生一個有趣的情形。當ρ值為2時，會發生什麼情形？它有e^(-ρ/2)；這個項會衰減，這些都有這個項，但2-ρ又如何呢？這會產生一個有趣的情形，當ρ為2時，它的值是多少？ 學生：0 教授：0。因此，會有一個節點，什麼形狀的節點？它是個點嗎？是條線嗎？是個波紋嗎？ 學生：一個球形 教授：它是一個球形。一樣是對稱球形，因此，有個球形節點在內部－在節點上，波函數符號會改變；裡面是一個符號，外面是相反的符號，Okay？2p_z 軌域又如何呢？我們該從哪裡開始？2p，我們從這裡開始，對於p_z，我們用這個，對於z，我們用這個，因此，這個乘以這個乘以這個，我想我應該有圈出來，讓我們看看，是的。這個有趣嗎？ 學生：不 教授：不。這個有趣嗎？ 學生：是的 教授：哪部分是我們感興趣的？ 學生：cosine 教授：cos(θ)是有趣的，對嗎？這是真正的變數。這裡哪部分有趣？這是ρ乘以e^(-ρ/2)，Okay，這是一些常數乘以ρ，乘以cos(θ)，乘以 e^(-ρ/2)，總會有e^(-ρ/2)這個項，別理會這個，這只是意味著當距離向外時會衰減。現在ρ乘以cos(θ)，這意味著什麼？ρ是這個的距離，乘以cos(θ)，那是什麼？Russell？這是Z，因此，我可以大幅簡化這個，如果我將極座標和笛卡爾座標間的相關性組合起來，它會是Z乘以e^(-ρ/2)，這就是2p_z軌域。你能猜出2p_x和2p_y軌域像什麼樣子嗎？有人能猜出2p_y軌域的樣子嗎？Josh？ 學生：用x替換－ 教授：替換什麼？ 學生：用x替換z 教授：用x替換z可得到2p_x軌域，用y替換z，可得到2p_y軌域，非常簡單的函數。關於－你看過p軌域的圖片，現在你知道函數是什麼樣子。有趣的是，回顧這些你看過的圖片，理解它們所代表的意義，如何將它們與實際算式連結起來呢？你可以畫－記得嗎？它有三個部分；一個 R函數，一個Θ函數，一個Φ函數，我們可以分別看看這些函數，如果我們想要的話，Okay？我們已談論過R函數如何作用，但Θ函數將如何運作，對這個cos(θ)來說？因此，我們做一個極座標圖，顯示cos(θ)值為θ的函數，大家都聽得懂嗎？Okay，當θ為0時，cos(θ)值是多少？ 學生：1 教授：1。Okay，所以它是這樣，我們放個點在這裡，Okay？現在來看正負30°，cosine是0.86，我們將點放在這裡。現在來看45°，它是√（1∕2），等於0.71，將點放在那裡。60°時，它是1∕2；將點放在那裡。90°時它是多少？90°時cosine為0，因此，我們得到了一個原點上的點，對嗎？你可以看到它的形狀。另一個方向呢？超過90°時，cosine會發生什麼情形？ 學生：會是負的 教授：符號改變，你得到另一個圓，為另一邊的負值，這就是 p軌域，但我沒有顯示出全部的p軌域，我只顯示角度部分如何變化，所以你看過這類p軌域的圖片，它是Θ的函數。我也可以將它平方，以找出機率密度，為θ的函數，它看起來會像這樣，你看到的圖片差不多像這樣。或者我可以作出像這樣的圖，一個等高線圖，顯示它有多大，用通過原子核的切面來看，對嗎？因此，它是ρ乘以e^(-ρ/2)乘以cos(θ)；這些乘以一個常數，就是波函數。Okay，你可以看到它頂端是正的，底部是負的。讓我們再多看一點。注意，它與φ，就是旋轉角度無關，因此，我們可以將圖片旋轉，得到三維的啞鈴形狀，Okay？在這裡我們只看一個切面，以便看清楚一點，Okay，在特定點上有特定的ρ和特定的θ，因此它有特定的值。讓我們找出這個函數的最大值，Okay？首先，它與cos(θ)有關，為了使它有最大值，θ該是多少？ 學生：0 教授：0。因此，它必須是沿著軸線的，Okay？θ必須等於零。Okay，我們要如何找到一個最大值，對ρ來說？我們得出ρ的導數，使它等於零，得到的是這個，或簡化成這個，或簡化成這個，ρ= 2，就得到最大值。如果我們將常數放入，就可以找出任何地方真正的機率密度；只要插入θ，插入ρ，然後將它平方，乘以常數，這是任何特定之處的電子密度，就是你要討論的位置。 或者你可以讓電腦為你做這個，這是我們該感激Dean Dauger的地方。他是一位物理學家，他於西洋學院就學時寫了這個程式，當他在那裡求學時。但他之後在UCLA拿到物理博士學位，他為物理學家寫了這個程式，我們將使用它。Okay，這是一張Dean Dauger的相片，他還是個會玩雜耍的人，這是一張他在蘋果研發者大會的照片，他正在玩雜耍，就是左邊這個傢伙，他掉了1支瓶子，耍的還不是很完美，Okay。這是他的程式，他在蘋果研發者大會，程式只能在蘋果電腦運作，如果你沒有蘋果電腦，向別人借一下蘋果電腦，看看這個程式，因為這真的很有趣。這是程式螢幕畫面，我現在沒有時間把它跑一遍，但你應該試試看。看看以下幾張PowerPoint幻燈片中的這個，瞭解它在這裡顯示的所有不同資訊，以及你可以問些什麼問題。這是個 1s軌域，對嗎？它所顯示的東西好像是真的一樣，電子確實著上了顏色。這是一張圖片，顯示出它實際上看起來是什麼模樣，如果你可以看到電子密度的話。但這些，當然，他是使用特殊電腦圖形學繪製出波函數的平方，對嗎？但這確實是一個相當好的程式。我們下堂課將對這個做更多討論。 2008年9月22日