航空工程的計算方法

課程重點

本課程有完整的課堂講稿和作業,也有豐富的研習資料。

 

課程描述

本課程介紹航空工程的計算技術，應用在航空結構力學，空氣動力學，動力學和 控制，以及航空系統；這包括：系統常微分方程的數值積分；有限差分，有限體積和有限元對偏微分方程的離散化；數值線性代數；特徵值問題；約束優化問題。

 

技術需求

要用MATLAB® software運行課程站點的.m和.mat文件。

 

教學大綱

課程目標

學生成功完成16.901之後學會：

1. 對航空系統分析和設計普遍使用的計算方法有概念性理解。
2. 對計算方法有應用方面的認識，包括為航空工程典型問題建模的經驗。
3. 分析計算方法行為的理論技術基礎。

 

定量指標

這科目分成四部份：

• 常微分方程（ODE）的數值積分
• 偏微分方程（PDE）的有限體積法和有限差分法
• 偏微分方程的有限元法
• 機率模擬技術

每部份的定量指標如下，尤其學生成功完成16.901課程將學會：

 

常微分方程的積分方法

   1.  (a) 描述亞當斯-巴什福思法（Adams-Bashforth）、亞當斯-莫爾頓法（Adams-Moulton）和多步法的後向微分族；

        (b) 描述多階段法龍格-庫塔(Runge-Kutta)族的形式；

        (c) 闡明多步法和多階段法兩者相對的計算代價。

   2. (a) 闡明方程組剛度的概念；以及

       (b) 描述這如何影響選擇數值方法求解方程。

   3. (a) 闡明顯式和隱式格式法對常微分方程組積分方面的差別和相對優勢；和

       (b) 解釋對於非線性方程組來說，牛頓-拉夫遜(Newton-Raphson)法如何用於隱式格式法的解題。

   4. (a) 定義一個收斂方法；

       (b) 定義一個一致性方法；

       (c) 解釋（臨界）穩定性；和

       (d) 通過描述收斂方法、一致性和穩定性之間的關係表明對Dahlquist等價定理的理解。

   5. 確定多步法是否穩定和一致。

   6. (a) 定義常微分方程積分法精度的總體和局部階數，

       (b) 描述總精度和局部精度之間的關係，以及

       (c) 利用泰勒Taylor級數分析來計算某一給定方法的局部精度。

   7. (a) 確定特徵值穩定性，和

       (b) 確定多步法或多階段法用於一個線性常微分方程組時的穩定性邊界。

   8. 就一個具體問題建議一個適當的常微分方程積分方法。

   9. 用多步法和多階段法來解決一個工程應用中具有代表性的常微分方程組問題。

 

偏微分方程的有限差分和有限體積法

 1. (a) 定義一個問題的物理影響域，

     (b) 定義和決定一個離散問題的數值域，和

     (c) 解釋CFL條件並確定其產生的時間步長約束。

 2.  利用泰勒Taylor級數分析解釋偏微分方程的有限差分估計局部截斷誤差。

 3. 解釋中心格式和單邊格式（上風格式）的離散方式的區別。

 4. 描述二維對流在非結構網格上的戈多諾夫Godunov有限體積離散。

 5. 用馮諾依曼Von Neumann分析或半離散分析（線化理論），完成偏微分方程有限差分估計的特徵值穩定性分析。

 6. 使用有限差分或有限體積離散法來解決工程應用中具有代表性的偏微分方程（或者是一系列偏微分方程）。

 

偏微分方程的有限元法

 1. (a) 描述加權餘量法如何用來計算偏微分方程的近似解，

     (b) 描述加權餘量法、排列法和最小二乘法在求偏微分方程近似解時的差別，和

     (c) 描述什麼是Galerkin加權餘量法。

 2. (a) 描述選擇有限元法使用的近似解法（如：試驗函數或插值），和

     (b) 舉例說明近似解題的基礎，尤其是包含至少可用於線性和二次解題的一個節點。

 3. (a) 描述如何用參考單元來做積分，

     (b) 描述如何推導出高斯Gaussian求積法，以及

     (c) 描述高斯求積法如何用於參考單元中作近似積分。

 4. 解釋 Dirichlet邊界條件和Neumann邊界條件如何用到有限元法離散後的拉普拉斯Laplace方程。

 5. (a) 描述有限元法離散如何做到離散方程組；對於線性問題，這如何導致剛度矩陣；以及

     (b) 描述剛度矩陣的條目（列和行）以及線性問題右邊向量的意思。

 

機率法

注意: 要求所有學生必須從先修課中全面理解：機率論、隨機變量、機率密度函數(PDF)、累積分布函數(CDF)、平均值（預期）、方差、標準差、百分比、均勻分佈、正態分佈和x2分佈。

1. 描述蒙特卡洛法Monte Carlo如何從多變量，均勻分佈中採樣。

2. 描述蒙特卡洛法如何把均勻分佈採樣修改為一般分佈。

3. (a) 描述什麼是無偏差估計；

    (b) 敘述平均值、方差和機率的無偏差估計；以及

    (c) 敘述這些無偏差估計的分佈。

4. (a) 定義標準誤差；

    (b) 給出平均值、方差和機率的標準差；

    (c) 給出平均值、方差和機率的標準差的置信區間；以及

    (d) 闡明蒙特卡洛法在隨機數輸入時的收斂與用以上誤差估計的採樣數目輸入時的關係。

5. (a) 描述單獨輸入和多元輸入的分層採樣，

    (b) 描述拉丁超立方體採樣法（LHS），以及

    (c) 描述LHS根據採樣數目平均值標準誤差的收斂性在近線性輸出的優點。

6. (a) 描述響應面法（RSM）；

    (b) 描述經過泰勒Taylor級數、用最小二乘法設計實驗和用最小二乘法隨機採樣的響應面的架構；以及

    (c) 描述R2度量空間，及其用於測量響應面質量方面的用處和潛在問題。

作業問題

作業會在定期講座結束時給出，並要求在下一課開始時上交。這些作業需要花1-2小時完成。每次作業會以下面的尺度標準給分：

3: 足以說明對概念有出色理解的完整解答。

2: 足以說明對概念有足夠理解的解答，但有一些次要錯誤。

1: 足以說明對概念有一定理解的完整或近乎完整的解答，但犯了重大錯誤。

0: 非常不完整的解答或者一點都沒有解答。

注意：每次作業給分只是整數。在學期結束時，作業得分最高的2/3將計算平均分以確定作業總分等級。大致上是：A: 2.5-3; B: 2-2.5; C: 1.5-2; D: 1-1.5; F: 0-1.

 

專題

目前，本學期有三個編程專題（除了常微分方程，每部份一個）。這些專題將是關於應用於航空工程中的數值算法。強烈推薦大家用Matlab®完成編程。以下列出專題的到期日。

專題	到期日
專題1	第16課
專題2	第30課
專題3	第38課

專題作業在到期日之前至少一星期佈置。專題到期那一周不會佈置任何作業。每專題評分按照麻省理工的等級評分細則。（請看課程評分）。
 

共同研究作業和專題

雖然我們鼓勵同學之間討論作業和專題，但是上交評分的作業必須能代表你自己對課程內容的理解。若通過其它途徑得到重大幫助必須註明。

 

口試

將會有期中口試和期末口試。期中口試在講座20和講座21之間。期末口試在期末考試周舉行。我會在二月底根據各同學的選擇來編排期中試日程。學校公佈期末考試的日程後，我會定出本課程的期末考試日程安排。每次口試根據麻省理工標準等級分數細則來評分。（請看課程評分）。

 

課程評分

學科總分由作業、專題和口試的分數組成。大致來說，各部份的權重如下所示：

評分準則
活動	明細
作業評分	總分的1/8
專題評分	每個項專題佔總分的1/8
口試評分	每次測驗佔總分的1/4

 

對於學科的評分，我是根據麻省理工的給分指導，以下是具體描述。

A: 異常出色的表現，展示對學科內容有深度理解、有廣泛知識的基礎以及靈活使用概念和資料。

 

B: 良好的表現，展示有能力利用合適的概念、對學科內容有很好的瞭解以及有能力解決與學科相關的問題。

C: 及格的表現，展示對學科內容有足夠的理解、能解決相對簡單的問題以及有能力繼續在這領域做進一步的工作。

D:可以接受的最低限度表現，展示對課程內容有點熟悉，有一些能力解決一些簡單問題，但可見有嚴重不足，如不痛下功夫不建議在這領域進行深入工作。

教科書

筆記將會發給大家。有需要時會根據具體內容建議參考書目。