無限隨機矩陣理論

Infinite Random Matrix Theory, Fall 2004

2004年秋季課程
這門課程是有關無限隨機矩陣的數學和應用的課程。在該課程中,我們將學習一些與無限隨機矩陣相關的數學工具,例如用於描繪無限隨機矩陣特性的Stieltjes變換和自由機率論。我們的重點在探求這些工具間的已知聯繫(例如自由機率的組合部分)和發現新的聯繫(例如自由機率中的多元正交多項式和自由累積量之間的關係)。

指定教科書

課綱與詳述事項

  • 課程重點

該課程特色為包含一份廣泛的閱讀清單,包括了一些完整的文章、挑選出的課堂講稿以及一份廣泛的相關資源列表。

 

教學大綱

  • 課程描述

這門課程是有關無限隨機矩陣的數學和應用的課程。在該課程中,我們將學習一些與無限隨機矩陣相關的數學工具,例如用於描繪無限隨機矩陣特性的Stieltjes變換和自由機率論。我們的重點在探求這些工具間的已知聯繫(例如自由機率的組合部分)和發現新的聯繫(例如自由機率中的多元正交多項式和自由累積量之間的關係)。

我們的目是接觸到無限隨機矩陣研究的的不同分支,由此造成的結果是我們在一些領域上花費的時間要比其他的更多。我們希望該課程能提供:

對無限隨機矩陣的主要核心內容有一定程度的熟悉,使得你能具有一定的背景知識以應用於找公式及尋求工程和物理的已知解

掌握足夠的背景知識和工具,使你可以閱讀關於無限隨機矩陣理論最新研究的文章;

掌握分析和計算方面的一系列工具,使你一旦發現新問題可以對問題中的新的隨機矩陣進行分析。

  • 必備先修課

不需要任何特別的必備先修課。但我們假設學生們已經學過線性代數(18.06)或是其他相關的大學部課程,並且對機率論有一定瞭解(課程6.0416.042J已經是綽綽有餘了)。具有組合理論的知識當然更好。熟悉MATLAB®軟體對學習這門課程將會有很大的幫助。

  • 內容

對於該課程的目標是要同時兼顧廣度和深度。我們的計畫是接觸下列的寬廣領域並試圖對統一這些領域的潛在機制做深入研究。

以下是該課程主題的一個暫定列表;我們將根據學生的背景、興趣以及課程進度來選擇材料。如果你對一些其他課題感興趣,請告訴我們,我們很樂意根據你的興趣調整課程內容。

組合性方面:運用組合技術來推導三種經典隨機矩陣集合的有限分佈。路徑計算和隨機矩陣理論。計算torii路徑的一般準則。

基於Stieljtes變換的方法:Mar¡cenko-Pastur理論。其他一般性理論。Silverstein的樣本共變異矩陣。收斂問題。

自由機率論:自由度的概念。自由累積量和非交叉區域。R變換和S變換。波動和二階自由度。組合性解釋。

均衡性測量:Hermite, Laguerre和Jacobi正交多項式。(單變數)正交多項式的均衡性測量的有限分佈的解釋。物理應用。

Fredholm行列式:Tracy-Widom分佈。特徵空間和Riemann假說。

Jack多項式:多元正交多項式。組合性方面。與隨機矩陣的聯繫。

應用:無線通信,統計物理學。

  • 家庭作業

家庭作業每兩周指派一次。主要包括課堂上需要用MATLAB®進行探索的資料。你可以不繳交,但是做一遍對你理解這些資料很有幫助。

  • 課本

沒有一本教材足以涵蓋該課程的絕大部分資料。請查看相關閱讀資料部分以獲得更多資訊。

  • 評分

這是一個非常熱門研究領域的進階研究生課程,評分將基於你在課堂上的參與程度。

相關連結

關於隨機矩陣的研究組

MSRI(Mathematical Sciences Research Institute 數學研究協會)上的自由機率論研究組Free probability workshop at MSRI

包含一些研究自由機率論的傑出人士的演講的影片和.pdf版本的幻燈片。其中的一些,但不是全部,與無限隨機矩陣理論相關。

數學研究協會上的隨機矩陣模型研究組Random Matrix Models workshop at MSRI

包含一些研究有限隨機矩陣理論的(大部分)物理學家和數學家的講座影片

FoCM上的隨機矩陣研究組Workshop on Random Matrices at FoCM

是關於有限和無限隨機矩陣理論的數學和應用工作組。其中包含的鏈結對獲得關於隨機矩陣理論的理論和應用方面的感性認識很有幫助。

 

其他著名的研究組

關於隨機矩陣和其他隨機物件的工作組Workshop on Random Matrices and Other Random Objects

期刊

有關隨機矩陣理論的文章可以從下列期刊中找到:ArXiV

包含有關隨機矩陣理論的預印本。有時文章以“自由機率論”和“可積系統”的名義發表。你可以用關鍵字搜索來滿足要求。

多變數分析和應用方面的期刊Journal of Multivariate Analysis and Applications

SIAM矩陣分析和應用SIAM Matrix Analysis and Applications

自由機率論方面的重要研究員

Dan Virgil Voiculescu (加州大學伯克萊分校)(UC Berkeley). Bio (PDF)

Roland Speicher(皇后大學)(Queens University)

Ken Dykema(德州農工大學) (Texas A&M)

Denes Petz(布達佩斯科技經濟大學) (Budapest University of Technology and Economics)

Phillippe Biane(師範學院)(Ecole Normale Supirieure) 

Alexandru Nica(滑鐵盧大學) (University of Waterloo)

Uffe Haagerup(南部丹麥大學) (University of Southern Denmark)

James Mingo(皇后大學) (Queens University)

Michael Anshelevich(加州大學河邊分校) (UC Riverside)

Piotr Sniady(弗羅茨瓦夫大學)  (University of Wroclaw)

無限隨機矩陣理論方面的重要研究員

Jack Silverstein(北卡羅萊納州大學)(NCSU)

Zhidong Bai(新加坡國立大學)(National University of Singapore)

Iain Johnstone(史丹福大學)(Stanford)

Craig Tracy(加州大學大衛斯分校)(UC Davis)

Harold Widom(加州大學聖達戈分校) (UC Santa Cruz)

Peter Forrester(墨爾本大學) (University of Melbourne)

Alexander Soshnikov(加州大學大衛斯分校) (UC Davis)