風險管理中的普遍原理-風險匯聚和對沖

講座二

統計與數學構成了金融理論的基礎。機率論與各種分佈類型對於理解金融是很重要的。例如風險管理,有賴於方差、標準差、相關係數和回歸分析等工具來實行。現值及支付價值流程等金融分析方法,是瞭解貨幣時間價值的基礎,且已實行了幾個世紀。

講座二:風險管理中的普遍原理-風險匯聚和對沖

    Robert Shiller教授:今天這堂課的主題是,風險管理的普遍原則;風險匯聚和風險對沖。今天我要教授的知識,我認為是金融理論中最基本、最核心的概念。我想先說說這個,就是機率論,以及通過風險匯聚來分攤風險。這一極具智慧的概念,誕生於某一特定歷史時期,並且應用廣泛,金融是其一。對於部分人來說,這堂課相對於我其他的課程,是較為專業的,而且不巧的是,這門課在學期初就開始了。對於已經學過機率和統計的同學來說,這堂課就沒什麼新鮮的了。當然,那是從數學角度來說的。但機率論是個新知識,其他的,我想告訴你們不必...如果你還在挑選課程。昨天有個學生來問我,他該不該選這門課,他的數學有點荒廢了。我說,如果你能聽懂明天的課,也就是今天這課,那你不會有問題的。 我想從機率的概念開始講起。你們知道什麼是機率嗎?我們舉個實例吧,好嗎?今年股票市場會走高的機率是多少?我會說,我個人猜想的機率是0.45,那是因為我對股市持悲觀態度。但,你們知道那是什麼意思嗎?就是股票市場會走高的可能性是45%,剩下的55%,市場會走平或者走低,那就是機率。現在你們覺得這個概念似曾相識了吧?如果有人提到機率是0.55或者0.45,你就知道他說的是什麼意思了。我想說,機率的表述並非一貫如此。這個概念成型於十七世紀。那時機率被第一次提出。 伊恩·哈金為機率論追根溯源。他查遍世界所有關於機率的文獻,發現無法追溯到十七世紀以前。也就是說,十七世紀中誕生了一次智慧的飛躍,用機率來表述成了件很時髦的事。引用機率的這種表述方式很快傳遍世界。但很有意思的是,如此簡單的方式,之前從未被使用過。哈金指出機率這個詞,或者說可能已經存在於英語中。事實上,莎士比亞用過。但你知道它代表什麼嗎?他舉了一個年輕小姐的例子。一位小姐描述她喜歡的男子,她說道,我太喜歡他了,我覺得他有很大可能。你們覺得她是什麼意思?有人能回答嗎?有擅長近代英語的同學能回答我嗎?什麼是一個「很可能」的年輕男子?我在徵求回答,好像沒人知道。有人敢猜一下嗎?沒人想試試嘛? 學生:是不是說他生殖能力旺盛? Robert Shiller教授:你是說他「精」力旺盛嗎?我想她不是那個意思,但也有可能。不是的。她的意思顯然是「值得信賴」,我想那是為人的重要品格。 所以,如果有什麼是很可能的,說的是你可以信賴它。也就是說,這裡的可能性等於可信賴度。所以,你可以清楚地瞭解到,機率是如何由那個定義轉變為今天的定義的。但這位優秀的歷史學家伊恩·哈金認為,一定有人在更早時候就用過機率這個概念,即便他們沒有用數字來表述,但他們一定有過類似的想法。他遍覽全球文獻,試圖尋找這個詞在十七世紀前的使用證據。並且總結說,很可能有許多人有過相同的想法,但沒有公開闡述過,並且從未成文發表過。他說,部分原因是,縱觀人類歷史,賭博曾風靡一時。而機率論對於一個賭徒來說,是大有裨益的。哈金相信歷史上有很多賭博理論家,曾多次構想了機率論,但從來沒有記錄下來,並且恐為人知。 他舉了一本書,或者說是本作品集上的例子,有誰知道這本作品集嗎?這是本用梵文編著的史詩作品集,可以追溯到...事實上這本作品的創作時間歷時近千年,最終完稿於西元四世紀。有那麼一個故事:在摩訶婆羅多一書中有篇長故事,有關一個名叫那勒的國王。他有個妻子叫妲瑪言狄,他是個非常純潔善良的人。有個名叫迦梨的惡魔很討厭那勒,並且想使他一蹶不振,所以他必須要找到那勒的弱點,他最終得逞。儘管那勒是那麼地純潔和完美,迦梨還是找到了一個弱點,那就是賭博。那勒無法抵擋賭博的魅力,所以惡魔就誘使他癡迷賭博。你們知道,有時你輸了,就會把賭注加倍,並且總想把失去的都贏回來。在賭性的驅使下,那勒最終押上了他的整個王國,並輸了賭局。這是個很可怕的故事。那勒不得不離開王國和他的妻子,他們被流放數年,而他又在流亡中與妻子走散。 他們在森林裡流浪,那勒陷入絕望,他失去了一切。但後來他遇到一個名叫...我們說到過誰?他遇到的這個人叫睿都巴若那,這就到了講機率論的時候了。睿都巴若那對那勒說,他瞭解賭博術,並且會傳授給那勒,但只能是口耳相傳,因為這是一個秘密。那勒心存懷疑,睿都巴若那怎麼會知道如何賭博?所以睿都巴若那就試圖證明自己的能力。他說,看那邊的樹。我只需數一根樹枝上的葉子,就能估算出樹上葉子的總數。睿都巴若那查看了一根樹枝,然後估算了一個總數。但是那勒仍然心存懷疑,他徹夜未眠,數了樹上的每一片葉子,發現結果和睿都巴若那所言相差無幾。所以他在第二天早晨相信了睿都巴若那。哈金說,這很有趣,抽樣理論是那勒所學知識的一部分。你不必數樹上所有的葉子,你可以抽樣,然後計數,再相乘即可。 不管怎樣,在故事結尾,那勒回去了。我們知道他已經掌握了機率論的知識,他回到祖國並且再次求賭。但除了妻子,他別無賭資,所以他以她作賭注。不過要記住,現在他知道自己在做什麼,所以他並不是真的要拿妻子來冒險,他真的是個很純潔並且值得尊敬的人。於是他贏回了整個王國,故事就此結束。 不管怎樣,這個故事表明,機率論確實有很悠久的歷史,但那時它並非以學科形式存在,也沒有對金融理論的產生有過指導意義。若沒有理論基礎支撐,你就無法做到思維縝密。所以直到十七世紀,機率論才被記錄下來,形成理論,並且在那個世紀裡誕生了金融和保險的雛形。 例如在十七世紀時,人們開始製作壽命表。什麼是壽命表?這個圖表反映了兩性在不同年齡層中死亡的機率。如果你想從事人壽保險,你必須對它有所瞭解。他們開始收集死亡率的資料,並且發展出精算學,用來估算人在各年齡層死亡的機率,那便是保險誕生的基礎。事實上,從某種意義來說,保險業可以追溯到古羅馬。在古羅馬時期,有種東西叫喪葬險。你可以買份保單,能使你避免因家庭貧困而無錢供你死後下葬。在古文明時期,人們很重視死後能否安然入葬,所以那是個很有意思的想法。人們在古羅馬時期銷售喪葬險。你可能會想,為什麼只有喪葬險?為什麼不發展成全面的人壽險呢?你可能有些疑惑,我想可能是因為,當時的人們並沒有理論體系的支撐。在文藝復興時期的義大利,人們開始編寫保單,我看過其中一份,刊登在《風險和保險雜誌》上。他們翻譯了一份文藝復興時期的保單,但是很難理解那份保單到底想說什麼。我猜當時並沒有專業的辭彙,他們未能...他們有想法,卻無法表述。所以我認為那只是保險業的雛形。我認為是機率論的誕生,真正促生了保險業,那也是為什麼我認為理論對於金融來說非常重要。 有些人將火險的歷史追溯到1666年的倫敦火災。大火幾乎燒毀了整座城市。緊隨著那場倫敦大火,火險訂單的數量激增。但是你也許會疑惑,對於闡述火險來說,這是不是個好例子。因為如果整個城市被燒毀,那麼保險公司就會破產,對吧?倫敦的保險公司之所以開發火險,是因為整個保險理念,就是將獨立事件發生的風險匯聚起來。不過,那只是個開始。 不管怎麼說,我們得承認保險起步緩慢,因為...我相信是因為...人們無法理解機率的概念。他們腦海裡沒有這個概念,這有多方面的原因。為了理解機率,你要把事件想像成是隨機發生的。但人們沒有那樣清晰直觀的認識,他們也許覺得,我可以透過意願,或者許願來影響事件的發展;也許...我說不定有神力相助,如此機率這個概念就有些模棱兩可了。即便如今,人們似乎仍然無法理解機率。從直覺上來說,他們並不真的認為機率是客觀的。比如說,如果你問人們,他們願意出多少錢去賭擲硬幣?如果他們可以擲硬幣,或在硬幣還沒被擲出前,他們會下更大的注。但也許硬幣已經被擲出,且藏了起來。為什麼會那樣呢?這可能是因為人們有種直覺,覺得我能...也許是...我有種魔力,我能改變事物。 而機率論的觀點是,不,你無法改變事物。世間萬物遵循客觀的機率,它們即是定律。世上的大多數語言對運氣和風險,或者說運氣和機遇,都有另一種表達方式。運氣像是可以用來描述一個人;好比我是個幸運的人,我不知道那是什麼意思...是說上帝或者眾神眷顧我,所以我很幸運;或者說這是我的幸運日。機率論實在與此無關,於是我們有了一門精確嚴謹的學科作為工具。 現在,我要討論一些機率論上的術語。對你們一些人來說,這是個回顧,但這是我們之後課上一直要用的知識,所以我會用字母P,或者Prob來表示機率。機率一定是一個在0和1之間的數字,或者說0%和100%之間。Percent在拉丁語裡就是除以100的意思,所以100 Percent就等於1。如果機率等於0,就意味著事件不會發生;如果機率等於1,就意味著一定會發生。如果機率是...大家都能看清黑板嗎?不知道這黑板能不能移一下?看來能移,現在看得見了嗎?你的位置最不好了,但你也能看見吧?這是機率論中最基本的概念。 機率論中最基本的一個原則,就是獨立性的概念。機率是用來描述某一結果發生的可能性。比方說某一試驗的結果,比如拋硬幣。如果你拋一枚硬幣,正面向上的機率一定是50%,因為正反哪一面向上的可能性是相同的。獨立試驗的概念就意味著,每一個試驗和其他試驗的結果沒有關係。如果你拋兩次硬幣,第一次的結果並不影響第二次的結果,所以我們說他們是相互獨立的。這兩次試驗沒有關係。 機率論的最基本的原則,有一條叫乘法原理。意思是,幾個相互獨立的事件,其中兩個事件同時發生的機率,等於他們分別發生的機率的乘積。用 Prob(A and B)= Prob(A)*Prob(B)表示。如果A和B不獨立,這個式子就不成立。保險理論就是,在理想狀態下,保險公司為獨立事件承保。理想狀態下,人壽保險,或者是火災險,承保的對象都是獨立事件。倫敦大火的例子不在討論範圍。有時候會出現這種問題;一個人把自己家裡的油燈弄翻了,然後把自己的房子點著了。由於火災是獨立事件,他的房子著火了並不會燒毀別人的房子。在這樣的假設下,整個城市都被燒掉的機率是非常非常小的。簡單的說,A和B和C同時發生的機率,等於A發生的機率,乘以B發生的機率,乘以C發生的機率,以此類推。如果一棟房子著火的機率是千分之一,然後假設有1000棟房子,那麼,這一千棟房子全都著火被燒掉的機率,就等於千分之一的一千次方,基本上就是0了。所以如果保險公司賣了很多保單出去,他們基本上就沒有什麼風險了。剛才講的就是最基本的概念,可能看起來比較簡單明顯。但這些概念剛出現時,並不被廣泛理解。 順便說一句,我們有一套習題,我希望你們從今天就開始做。不要求下個禮拜交,因為馬丁·路德·金日要放假。等放完假後的禮拜一交。 如果繼續往下看,在機率論裡有一個基本的概念,叫做二項分佈。我不想在二項分佈上花太多時間。二項分佈給出了在N次試驗中成功X次的機率。在剛才保險的例子中,如果你為某一事件保險,在N次試驗中發生X次意外的機率就服從二項分佈。二項分佈,通過X的函數給出機率,公式是P^X (1-P)^N-X [n!/(n-x)!]。P代表某一事件發生的機率。這就是當保險公司需要評估一系列的獨立事件中,一定數量的獨立事件發生的可能性時,所使用的公式。保險公司都會擔心太多事故同時發生,這樣的話保險公司可能就會賠個精光。保險公司一般都有準備金,準備金的數量一般保持在剛剛夠賠償一定數量的保單。保險公司就可以用二項分佈公式,來計算特定數目事故發生的機率。二項分佈的介紹到此為止,我不準備拓展這一部分,畢竟這節課不是機率論。但我希望你們能記住這個公式,並且學會應用。有沒有不清楚的地方?你們能看見我寫的字嗎? 機率論中另外一個常用的重要的概念是期望值,或者也叫均值,這兩個概念可以互換。我們可以用期望值,或者是平均值。[譯注:兩個詞均翻譯成平均值]。我們有幾種不同的方式去定義這個概念,取決於我們指的是樣本均值,還是總體均值。最基本的定義,某一個隨機變數X的期望值是E(x)。我應該提到過,隨機變數是一個可以取值的數。如果你有一個試驗,這個試驗的結果是一個數,那麼相對應的隨機變數,指的就是這個試驗結果所對應的那個數。比方說拋硬幣的試驗。我將正面向上的結果對應數字1,反面向上的結果對應數字0,這樣我就定義了一個隨機變數。就像剛剛定義的,是一個離散型隨機變數。隨機變數還可以有無限種取值,也就是連續型隨機變數。隨機變數可以取某一區間的一切值,比方說做這樣一個試驗;將兩種化學試劑混合,然後測定反應溫度。順便說一下,溫度計也是十七世紀的發明,那時候的人才剛剛開始理解溫度的概念。雖然對我們來說這是個很自然的概念,但在十七世紀確實是個新玩意。扯遠了。但溫度是連續的,對吧?把兩種試劑混合的時候,溫度可以取任何值,對溫度的取值有無數種可能。也就是說,是連續的。 對於離散的隨機變數,可以這樣定義期望值。這是希臘字母μ,對每個變數的值Xi和對應機率的乘積求和。[P(x=xi) times (xi)],對於這個隨機變數X,可能的取值個數是無限的。在拋硬幣的例子裡只有兩個取值,但是一般都會有無限個可能值。但隨機變數是離散的話,我們可以把所有的可能值列出來,然後算出加權平均值,這個加權平均值就是期望值,也可以叫做平均值。但注意,這個公式是基於機率論的,這些數值是機率。使用這些公式之前,必須知道真實的機率值是多少。對與連續分佈的隨機變數,還有另外一個適用的公式,兩個公式的想法是一樣的,都可以用μx表示。不過這是一個積分,積分下限是負無窮,上限是正無窮,然後對F(x)*x*dx積分。其實這兩個式子是一樣的,因為積分也就是另一種形式的求和。 這是兩種對總體的定義。F(x)是x的連續型隨機變數的機率分佈。和離散型隨機變數的分佈不同的是,連續型隨機變數的分佈中,某一點的機率值始終是零。溫度恰好是整100攝氏度的機率是零,因為還可以是100.0001等等無數個值,所以有無限種可能性。所以我們用機率密度的概念,來描述連續型隨機變數的情況。對於本門課程來說,你不必對剛才講的機率的知識有很深入的瞭解,我只想介紹一些機率論的基本概念。這些是用來度量總體的變數,因為他們對應的是總體中所有的結果,度量的是所有事件的機率。這些是真實的值,但同時也有樣本均值。如果你像數葉子的睿都巴若那一樣,只有部分樣本的話,你可以來估計總體均值。總體均值一般寫作X-Bar,如果你有n個觀測值,對Xi從i=1到n求和再除以n,能看懂這個公式吧?你數了n片葉子,不對,一共有n根樹枝,你數了葉子的數量,然後把他們加起來。這個1是指…我好像把這個式子和睿都巴若那的故事弄混了,但你們應該懂我的意思,應該明白均值的概念。均值是最基本的概念,你可以用這個公式來估算離散的、或者是連續變數的期望值。 在金融裡我們經常提到另外一種均值,在傑瑞米·西格爾的書裡多次提及,這種均值叫做幾何平均。我這裡只講樣本的運算式,G(x)等於所有Xi的乘積的1/n次方,大家都能看見嗎?可能有些同學看不太清楚。我把所有的乘在一起,然後開n次方,而不是把他們加總再除以個數,這種平均叫幾何平均,只能用於正的數值,如果中間有負數就會有問題。如果這當中有一個負數,乘積就會變成負的,如果你對一個負數開根號,你就會得到一個虛數,而我們並不想要得到虛數。 剛才講的是傑瑞米·西格爾書上的附錄,他認為這個理論最重要的應用,就是衡量一個投資者的收益。假設有一個人投資,怎麼來評價他做的怎麼樣?你可能會想,他把錢投資在不止一年的期間裡,那就把每年的收益率求一個平均數吧!假設有人投資了n年,Xi是第i年的收益率,平均數代表的是什麼?很自然的想法是對收益率求平均值,但是傑瑞米覺得這不是一個好辦法。他認為應該對每年的收益求幾何平均,投資的收益是指,你在整個投資中賺的錢占本金的百分比,總收益率就是收益率加上1。在投資上,最糟糕的情況就是把本金也全虧完,也就是虧100%,然後加上1,你永遠也得不到一個負數,然後我們對這個值求幾何平均。 傑瑞米·西格爾認為,在金融上應該用幾何平均,而不是算術平均。為什麼呢?舉個簡單的例子,假設一個人幫你投資,而且他聲稱,我投資回報很高,我過去的十年中有九年的收益都是20%,你覺得很不錯,但最後一年怎麼樣呢?這個人說,哦,我虧了100%。你可能說,那還行,把9個20%加起來,然後加一個0,前面說錯了… 把9個120%加起來,然後加上最後一年的0%,看起來還不錯是吧?但想一下,如果你去投資,收益和這個人一樣,你最後能得到什麼?你最後一分錢都不剩。如果你最後一年全虧完了,不管之前收益多高,最後分文不剩。傑瑞米在書裡說幾何平均總是比算術平均小,當然,如果所有數字都一樣,兩個均值相等。幾何平均相比算術平均更加嚴謹,所以我們應該用這個指標。但金融界不傾向使用幾何平均,因為它比其他平均數都來得小。他們為自己的收益率做廣告時,當然希望數字越大越好。 我們也需要其他的指標。目前為止,我們只討論了集中趨勢指標,在金融學中,我們同樣需要離散趨勢指標,以衡量參數的變化程度。集中趨勢用以描述一組機率分佈的中心集中趨勢,而方差衡量的是各個觀察值之間的變化。方差這個指標,我們通常寫作σ2,這是希臘字母西格瑪的小寫平方。又或者,在討論方差估計的時候,我們常用S2,稱為標準差的平方。標準差是方差的平方根,總體方差是指一系列隨機變數x的方差,我們是這樣定義的,x=xi的機率乘以xi-μ的平方,在i取1到無窮大時的累加,μ帶下標x。我們剛定義了,μ下標x表示x的期望值,或者寫成E(x),這是偏離均值平方數的機率加權平均。如果距離均值的變動很大,那麼這個平方數也會很大。參數的變動越多,方差就越大。 還有另一個離散指標,我們用以考察樣本,有時用Var表示,我們用∑2,這是另一個離散指標,用於考察樣本。當有n個觀察值,這就是在i取1到n時,x減去x均值的平方除以n的累加,這就是樣本方差。另一種用法裡,分母是n-1,我覺得兩個都可以接受。這裡想說的簡單一點,當除以n-1表示的是對總體的無偏估計。我在這裡只是說的簡單一點。你會看到,這個指標衡量的是x與平均值的偏離,而且這裡有個平方,使偏離的權重更大。一個數的平方是一個更大的數,這就是方差。 這樣我們就介紹完了集中趨勢和離散趨勢。接下來我們討論它們在金融學中的應用。從收益的角度來說,一般我們都渴望高收益。我們希望收益的期望值較高,並且穩定,期望值越高越好。方差就相反,因為方差代表著風險,也就是不確定性。整個金融理論的中心,就是如何獲得高收益,同時降低風險。 另一個基本的概念是協方差。協方差衡量的是兩個變數一起變動的情況。協方差是,我們有兩個隨機變數,x和y的協方差是,從樣本的角度來說,在i取1到n時,x減去x均值乘以y減去y均值,再除以n的累加。這個是X的偏離度,這裡有下標i,表示每一次觀察值對應著某個Xi和Yi。這裡說的是由試驗產生的,每一次試驗可以獲得一組x與y的觀察值。當x值大的時候,y值可能也大,或者相反。如果x和y同向變動,當x值和y值同時都很大,協方差的結果將會是一個正值。如果x取值小,同時y值也小,這將是一個負值,這個也是負值,負負得正,結果是正值。一個正值的協方差表示兩個變數同向變動,負值的協方差就表示二者反向變動。如果x比x均值要大,這個為正。而y比y均值小,這個為負,這樣乘積就是負數。很多個負值的結果相加,就會使協方差是一個負值。 接下來我們講相關性。這個指標是相關係數,我們習慣用希臘字母rho表示。如果你使用Excel,會用correl表示。有時我也用corr。這表示的是相關性,這個數的取值在-1到+1之間,定義為,rho等於xy的協方差比xy各自的標準差的乘積,這就是相關係數。這個概念已經進入了日常語言。你們也能看到,有時它會被報紙所引用,我不清楚你們是否熟悉。你們會在什麼情況下見到相關性呢?媒體會說,SAT成績和大學裡的平均學分相關性很低,或相關性很高。有人明白這是什麼意思嗎?你可以估計一下。相關係數很可能是個正值,結果很可能是接近0的正數,但肯定有些相關性的。比如說0.3,這意味著SAT的高分考生,更有可能拿到高的績點。如果這是個負值...這不太可能...這可能是負值,否則就是說拿到SAT高分的人,在大學裡會表現的比較差。如果你可以量化二者有多相關,那你就可以考察相關性了。 下一個部分是回歸,這是統計學中又一個基本概念,在金融學中廣泛使用。那我就舉一個金融領域的例子。回歸這個概念要追溯到數學家高斯,討論的是從若干散點中切合出一條直線。我們來畫一條切合散點的直線。我把這個軸作為股票市場的收益,這個軸作為某個公司的收益,比如說微軟,將每一年的資料作為一個觀察值。我不應該用這個公司名,因為我沒法重現它的資料。不用微軟了,就用希勒公司吧!這是個虛構的公司,所以我可以隨意作假設。這裡做零點,注意這不是總收益,而是年度收益,有可能是負數的。假設某一年...這裡設為-5,這裡+5,這是-5,這是+5。我們假設第一年中,希勒公司和市場都獲利5%,在(5,5)這個位置點一個點。另一年,股票市場下跌了5%,希勒公司下跌了7%,在這裡,(-5,-7)又有一點。假設這裡是1979年,這裡是1980年,一直添加資料點,就形成了一個散點圖。斜率應該是正的,對吧?很有可能當股票市場的總體表現好,希勒公司的表現也一樣好。 高斯說,做這樣的一條直線,切合所有散點,這就是回歸直線。高斯選的這條線,所有點距離這條直線的平方和,是所有直線中最小的。這些線段的長度就是距離。要找到最切合的直線,就是要使這些距離的平方和最小。這就是回歸直線。這個是截點,用alpha表示...這裡是alpha。斜率用beta表示。這個概念你們應該很熟悉了。在金融學中,這是個很重要的概念。希勒公司的beta值,就是這條直線的斜率,alpha是截距。我們也可以它來表示超額收益。遲一些我會講到,就是用這個軸表示收益減去利率,這個軸表示市場收益率減去利率,這樣的話,alpha就用以衡量,希勒公司表現超過市場平均水準多少。回到原先的話題。beta用以衡量本公司跟隨市場變化的程度,alpha衡量超過市場的表現。讓我們回到這些基本的概念來。 另一個概念...剛才這些我都講明白了吧?有一個分佈叫常態分佈,大家有所耳聞吧?大概是這樣的一個分佈,鐘形的。這裡是x,我要畫的對稱一點,可能我畫不好。這裡是f(x),這就是常態分佈。公式如下:f(x) =[1/(√ (2π)σ)] × e ^-[(x-μ)2 / 2σ]。這是個很著名的公式,還是來自高斯。金融學中我們常假設隨機變數,例如收益率,是遵循常態分佈的。這就是常態分佈,也叫做高斯分佈。這是一個連續分佈,你們都學過了,是吧?這是高中課程涉及到的。但我想強調的是,還存在別的鐘形曲線。常態分佈是最著名的鐘形曲線,但仍有其他運算式下的鐘形曲線。 金融學就很關注長尾分佈。這是一個隨機分佈,這裡沒有彩色粉筆,我就用虛線來表示長尾分佈。就像這樣。另一邊,我也儘量畫的對稱,這裡是這個分佈的尾部。這是右尾,這是左尾。你們可以看到,虛線畫的這個分佈,尾部要長很多,所以我們叫它長尾分佈。這就表示遵循長尾分佈的隨機變數。這些資料出現極端值的機率比較大,很有可能在長尾分佈的這裡。在金融界中,這是一種重要的觀測方法。許多投機性資產的收益,都是服從長尾分佈的。這就是說,你在華爾街混了二十年,所有觀察值都集中在中心區域,然後你覺得對市場行為瞭解的差不多了。但是突如其來,有些東西在這裡出現了。如果你長期持有這份投資,你就走運了。回報如此之高,你自己都沒有料到,可能你也從來沒有見過這種情況。但你也有可能獲得糟糕得難以置信的回報。這困擾著金融界。你無法預料,即使你的經驗再豐富,你也無法弄清這種難以預測的情況,這是金融界的一大難題。 我的朋友納西姆·塔利博剛剛寫了一本書,叫做《黑天鵝現象》,以後我會再講到。書中提到金融界中突然出現的小機率事件,怎樣搞砸了無數計畫,他稱之為黑天鵝現象。因為我們看到的天鵝總是白色的,你從沒見過黑色的天鵝,於是你從生活中得出結論,黑色的天鵝是不存在的。但事實上它們是存在的,而且你看到了一隻。你不會將賭注押在不可能存在的東西上。華爾街的專家塔利博用金融界的真實案例討論黑天鵝現象。 好的,講到這裡我將離開統計學,討論一下現值。這是金融學中的另一個基本概念,這也是今天這節課最後的內容。現值是什麼?這不再是統計學概念了。我以這個概念作為這堂課的結尾。生意人常常持有未來的錢,而不是今天的錢。舉個例子,有人對我承諾,在一年、或者兩年、或者三年內支付我一美元,現值就是指它在今天的價值。也許我握有一份欠條,或是一份合約,某人承諾,在一年或者兩年內支付我一些錢。由於資金有時間價值,他說他承諾支付一美元,但在此時此刻它並不值一美元,它一定少於一美元。在數百年前你們能做的,在今天還是能夠做到的,就是到銀行出示這份合約或欠條,問你們根據它能給我多少錢。銀行會為你計算貼現,有時候我們稱之為現期貼現值。銀行就會告訴你,既然從現在起的一年中,你能拿到一美元,但那是一年以後,因此現在我不會給你一美元,我會給你個現期貼現價值。 現在,我會將風險抽象化。我們假設這份承諾會被兌現,這只是時間的問題。當然,銀行不會因為某些東西在一年內收益一美元,而給你一美元。因為銀行知道一美元能在利率的基礎上用來投資。我們假設利率是r,假設利率就是0.05,就是說5%,也就是百分之五。一美元的現值...一美元的現期貼現值,或者現值就等於1/(1+r)。那是因為銀行認為,如果我現在持有這些錢,並將其投資一年,然後我會得到什麼?我得到(1 + r)*(1/1+r),就是一美元。因此公式完全準確。你必須把未來一段時間內的資金,通過除以1+r來貼現,這就是一美元在一段時期內的現值。我只是將一美元持有一年,但這個時間段並不一定是一年,不同時間段有不同的利率,因此我必須在不同的時間段,細化不同的利率,一般來說是一年。如果是一年期利率,那時間長度就是一年。那麼一美元在一年期內的現值,就能這樣算出。一美元在n段時期內的現值就是,1除以(1+r)的n次方,這樣就能算出來了。 我想講講現金流量估值。假設某人有一份合約,承諾在數年內的不同時段內分開支付。我們有幾個公式來計算現值。這些公式相當有名,我會很快帶過。其中最簡單的東西叫做公債或叫永續年金。永續年金是一種財產或者合同,規定在每一時間段內,支付一定數量的貨幣,直至永遠。我們稱之為公債,是因為早在十八世紀初,英國政府規定,他們稱之為英國皇家統合公債,或者聯合公債,要求永久性地,每六個月支付一定數量的英鎊。你會說,英國政府魯莽地承諾永遠支付利息,他們不會毀約嗎?就你們所知道的來說,永不毀約是最棒的,對吧?或許有人會說,英國,大英帝國總會有突發事件發生。政權會發生改變,但至少現階段不會改變,我們可以忽視它,因此我們就認為它是永久存在的了。無論如何,也許政府會重新將公債買回來,誰在乎它到底是不是永久的呢?我們就認為它是永久的好了。 假設公債規定,永遠於每時間段支付一英鎊,那麼它的現值又是多少呢?首先,每一次支付的數額稱為一個紅利,從現在開始每一年都要支付一英鎊,為了簡化我們就說成一年了吧!從現在起的第二年,需要支付第二個一英鎊;從現在開始的第三年,需要支付第三個一英鎊;則現值就等於,記住它從現在開始起一年一年的支付,只是個假設。我們能做不同的假設,但現在我就假設成一年。第一年的現值就等於1除以(1+r),加上第二年的1除以(1+r)的平方,以及第三年的1除以(1+r)的三次方,然後無盡地繼續下去。這是個無窮數列,你們應該知道怎麼計算。也就是1/r推廣開來,如果在每段時期內支付c美元,那麼它的現值就是c/r,它就是永續公債裡現值的計算公式。它是金融領域中最基本的公式。有趣的是,它意味著,債務的價值向著利率的相反方向變化。英國政府在十八世紀初就推出了這份債券,當他們在十九世紀再融資的時候,公債仍然有售。如果你想去買一份的話,你可以在這堂課後用筆電買一份公債。這份公債能確保你永久收到利息,但是你們必須明白的是,它的價值是與市場利率相反的。因此如果利率上揚,它的價值就下跌;如果利率上揚,這份投資的價值就會走低。 另外一個公式則是,如果債務並不償還會如何?不好意思,接下來要講的是上漲債券。即使英國債券並不升值,我還是要稱之為上漲債務。我們假設英國政府並沒有說,他們會每一年支付一英鎊,但它會是第一年支付一英鎊,然後它會順著利率g上漲,最後它就變成了無窮大的數目。你們在第一年得到一英鎊,然後在第二年得到了1+g英鎊等等,第三年得到(1+g)的平方,以此類推。它的現值就是...假設它需要支付,我們假設它每年支付c英鎊,然後這裡也乘以c,在第三年它就是c倍的(1+g)的三次方,現值就相當於c/(r-g)。這就是上漲債務價值的公式,g必須小於r才行得通。因為如果g比利率漲的還快,那麼這個無窮序列就不會收斂,價值就是無窮了。你們也許會問,那怎麼行得通呢?如果英國政府承諾,每年都支付高於10%的利息,會怎麼樣呢?市場該如何定位它?公式不能給出具體的數字,我來告訴你們為什麼。英國政府永遠都不會承諾,每年支付你們高於10%的利息,因為他們根本就做不到,而且市場也不會相信他們。因為它不可能比利率上漲得還快,這是最基礎的知識。這是不可能的。 我認為還有一個與之有關的問題,就是還有一個年金公式,這個公式應用於...如果一份資產在每段時期都給與支付,然後突然停止了怎麼辦?它就叫做年金。年金在第t個期間內支付c美元,t等於1、2、3,然後在最後一期間後停止。關於年金的一個很好的例子,就是房屋抵押。當你買了一座房子,你貸了些款,然後你在一定的時間內償還一部分。一般來說都是按月來算的,但是假設我們是按年支付的。你每年都在你的房子上支付一定數目的償款給抵押商,然後數年後,假設n是30年,一般來說你已經能償清貸款了。曾有一段時間,抵押貸款中有期末大額償還制度,這表示你在最後必須支付額外的款項。但他們覺得人們對償還額外款項會有困難,最好就是支付了規定的數額就好。不然,如果你向他們在最後索要更多的還款,很多人都不會有那麼多錢。於是出現了年金抵押貸款。那麼年金的現值又是什麼呢?那就是,年金的現值等於,公式如下:c*(1 – [1/(1+r)]^n)/r,那就是年金的現值。 我還想提一點,因為我意識到...你們的練習題中會涉及到這個。機率論在經濟學中的應用的問題,預期效用理論,然後我以這個做總結。在經濟學中,假設了效用這一概念,它表示了人們對於結果的滿意程度。我們通常用U表示。如果我得到了一些收益,我就有了一定數量的貨幣,x美元。我對於x美元的滿意程度設為U(x),我認為你們已經從其他的經濟學課程中學過了,稱為邊際收益遞減。這種觀點是對於任何數量的貨幣,假設我得到x數量的貨幣,隨著貨幣的增加,邊際效用呈向下凹進去的曲線。這條曲線的確切形狀還有待討論。但是邊際效用遞減規律的重點在於,你得到的錢越多,每額外的一美元的增長效用會相對減小。一般我們說它永遠不會走低,從曲線上來說,它不會下降。你可能會覺得你有的錢越多,你越不開心,也許實際上會那樣。但是我們的理論說,不,不會,你總是希望得到的更多,斜率永遠是正的。但是也有可能,你拿的錢夠多,效用將不再上升。 順便提一句,最後提一次,我在講,我在探討財富。我在講,如果你有一百萬美元,你會做什麼?我們國家有很多億萬富翁,但對於有錢人,有一點必須做的,就是慈善。他們必須給予別人物質上的幫助,是因為他們已經夠豐衣足食的了。正如我說的,你只能一次開一輛車。但如果你的車庫裡有十輛,它實際上並不會給你帶來更多的好處。當然你可以這麼做,但你不能同時享受它們帶來的樂趣。這非常重要,我們需要通過政策,來引導收入公平的一個原因就是這個。不是絕對的平等,是相對的平等。因為那些低收入的人群,對收入的邊際效應相當的高,而高收入人群的則小得多。因此,如果從有錢人那兒把錢分給窮人,所有人都會開心。我們不能像羅賓漢那樣來達到目的,但在金融領域,我們將通過系統的風險管理來實現。 我們會從有錢人那裡拿走一些。你可以想像自己作為例子。你不想...你知道,你想在高收入的年份中拿出一點錢,給你自己低收入的年份。金融學理論建立在,並且很多經濟學的都是建立在,人們希望能使自己對財富的期望效用最大化這一基礎上。由於這是一條凹曲線,它不只是期望值。要計算你財富的預期效用,你也許還要研究預期收益曲線,或幾何預期收益率,或是標準差,或研究長尾分佈。我們能從很多不同的方面來切入。這一基本的理論激發了我們的研究欲望,但我們還未詳細分析效應函數,這還不是完整的理論。當然,我們還會在這門課上討論行為金融學。並且,我們會間或討論到效用函數不總是正確的。人們希望最大化期望效用的觀點,也許並不是完全準確的。但在基本原理上來說,它是核心概念。習題冊中有這樣一道問題,你們將如何做出決策?例如賭博。你們是注重效率呢?還是注重預期效用?這個問題有些難度,但是...盡力思考這個問題,思考下這一理論,該如何應用到賭博行為上去。我們星期五見,也就是後天。 2008年1月16日