納許均衡-約會策略和庫諾模型

講座六

我們首先將納許均衡的概念應用在更多的協調賽局上,特別是性別戰爭。然後,我們分析了不完全競爭廠商之間經典的庫諾模型。我們瞭解到,在不完全競爭廠商間維持私下協議的困難,並將壟斷和完全競爭的狀況做比較,討論了庫諾均衡的優劣結果。

講座六:納許均衡-約會策略和庫諾模型

    Ben Polak 教授:上一講我們講到了投資者賽局,這屬於協調賽局,從中我們學到了不少東西,我們回顧一下上一講的內容。我再強調一下,從中我們瞭解到了溝通在協調賽局中可以起到作用,我記不清是誰了,他今天可能沒有來,或者坐別的地方了。就是上一講的詹姆斯•史都華,他只是告訴大家你們應該怎麼做,就使你們達成了較優的均衡。 從中我們學到了兩個結論。第一,協同謬誤與囚徒困境不一樣。在第一講裡我們就學到了在囚徒困境中溝通不起作用,但是在和囚徒困境具有同樣重要社會意義的協和謬誤中,溝通卻能夠起到作用,因為你們都想透過協同達成納許均衡。我們可以這樣理解納許均衡,把它們想像成自我實施的協議。假設每個人都相信大家都會遵守協定,那麼大家就都會遵守。 第二條結論就是-我不妨說得稍帶些哲學的意味,這和領導力是緊密聯繫的。領導力這個詞最近一直都很紅啊,我們經常能在報章中看到它,在耶魯大學的課堂裡也能經常聽到。我不敢說對領導力有多麼深刻的見解,我也不認為賽局理論能夠幫助大家加深對領導力的理解,可至少能知道它在什麼場合有用武之地。在協調賽局中,領導力的作用就是促成人們達成某個特定均衡,而不是其他均衡,甚至是完全缺乏協調的混亂狀態。在這類賽局中領導力的作用舉足輕重,微小的領導力也能帶來很大的改觀,所以這些協調賽局就是領導力的用武之地。 不妨再舉一個例子,我們就不找上一講那麼複雜的案例了。看一下這個簡單的協調賽局,如(1,1) (0,0) (0,0) (1,1),很顯然協調能起到作用,你們希望透過協調能夠達到左上或者右下的結果,而不是左下或者右上的結果。大家都看明白了嗎?如果你們真的進行這個賽局的話,很可能就會協調失敗。可是如果你有一點領導力的話,你可以說我們合作達成這個結果吧!或者我們達成這個結果也行,因此說領導力非常重要。我不想再過分的強調它的重要性,不過我們不妨回顧一下幾年前卡崔娜颶風的災後過程,就會認識到缺乏協調溝通是多麼可怕。 在繼續講下面的內容前,我再多說幾句。上一講的投資賽局有一個特徵,就是如果你越認為大家會投資,你就越想投資。你越覺得大家都會投資,你投資的機率就越大。再往前回顧一下。我們之前還講過合夥人的賽局,就是參與人共同參與一個合作專案,可能是一家律師事務所,也可能是一起做作業的學習小組。 不知道你們還記不記得最佳對策是什麼了?這條線代表參與人1的付出,這條代表參與人2的付出,這是參與人1的最佳對策,而這是參與人2的最佳對策。這個賽局也有這個特徵,別人越努力你就會越努力,你的合作夥伴付出越多努力,你也就越想付出越多努力。在這兒我們引入一個術語,這種別人付出越多你就付出越多的賽局,叫做策略互補賽局。這些都是策略互補賽局;投資賽局以及合夥人賽局都是策略互補賽局,我們可以說參與人的策略互補,我們一會兒再來討論這點。 在我們結束講解協調賽局前,再來看一個稍微複雜點的問題,上一講我簡單提到過的。請大家看下一個賽局,我們就稱它為一起看電影吧!我一直都覺得這門課還有個目的,就是教耶魯的倒楣蛋們怎麼約會,這還真是一個善舉啊!有多少人是經濟學專業的?看來有那麼多同學需要跟我學習約會策略啊!好吧。一對情侶要去電影院約會,我們來看看有哪些影片在上映,我畫一下表格。有三部電影在檔期,分別是《神鬼認證:最後通牒》、《特務風雲:中情局誕生秘辛》和《白雪公主》,我一會兒再詳細說。 在我有孩子之前,我能列出15部熱映的影片,我還能給你們提供不錯的影評,幫助各位制定約會策略。但現在我當爸爸了,我每年只能看兩部電影,我今年看的兩部就是《神鬼認證:最後通牒》和《特務風雲:中情局誕生秘辛》。我才發現這兩部影片麥特•戴蒙都參演了,我妻子選的-我是不是需要健身了啊?我給你們介紹一下這兩部電影吧!有多少人看過《神鬼認證:最後通牒》?不少人看過啊!這是一部幾乎沒有情節的動作大片,如果非要說點觀後感的話,那就是間諜都是神經病。 有多少人看過《特務風雲:中情局誕生秘辛》?也有很多人看過啊!很好,這部影片武打少情節多,和前一部剛好相反。這部電影的觀後感就是,耶魯人都是間諜,而且都是神經病。第三部《白雪公主》,我還沒有看過,但我4歲的女兒在27個晚上看了24遍,這部電影我真不知道怎麼推薦給大家,也許我已經老了吧!但我可不覺得現代的女性四處遊蕩,等待你的白馬王子出現是個好策略。順便說一下,要是你們有人會採用這個策略,就殺了我吧!如果你真的採取這個策略-記住這句英國的俗語吧!王子和土司一樣蠢,不值得你去等的。 我來把收益寫出來。兩個人想要在電影院碰面,他們想一起去看電影。他們想要找一家電影院約會,當時這三部電影正在上映,他們想到要一起看電影都很興奮,雖然那些經濟系的木頭不太會約會,他們忘了告訴對方去看哪一部影片了。他們約好在電影院最後一排見面,但忘了告訴對方看哪部電影了。問題就在這裡,我先寫完收益,先把相應的收益寫下來。這和我的偏好差不多,一會再說這些偏好是什麼意思。 (0,-1) (-1,0) (-1,0),(-2,-2),這些是參與人1和2對於影片的偏好,從這些偏好和收益可以得出,參與人1最希望的結果是,兩人一起去看《神鬼認證:最後通牒》。這是一部動作片-無性別歧視。假設這是女方,這是男方,她就想看麥特•戴蒙把敵人打得落花流水。她很希望透過協調能一起看這部電影,如果協調失敗了她就沒有收益。她的備選是看麥特•戴蒙扮演耶魯間諜,她可一點也不想看《白雪公主》。對於他們兩人來說,最糟糕的結果就是兩個人協調好一起去看《白雪公主》,因為你喝咖啡時都不好意思提這事兒。 另外一個人的情況是一樣的,唯一不同就是他更愛看《特務風雲:中情局誕生秘辛》,因為他是耶魯人,他把自己當成麥特•戴蒙扮演的特工了。如果不成,他就希望去看《神鬼認證:最後通牒》。如果協調失敗,兩人各看各的,就也是個悲劇了。他們兩人的偏好就是這樣的。如果你遇到這種情況會怎麼辦?關於這個賽局,你馬上想到了什麼?最容易想到的是什麼?穿紅衣服的小夥子。 學生:《白雪公主》是二者的劣勢策略 教授:沒錯,《白雪公主》是劣勢策略。這兩名參與人都學過賽局理論,我都說了,這對你們約會有幫助。因此兩人都知道,至少沒人會去看《白雪公主》,雖然這部動畫很好,但顯然不適合約會看。把它剔除了。大家都看明白了吧?現在只剩下兩種選擇了,兩部由麥特•戴蒙主演的影片,《神鬼認證:最後通牒》和《特務風雲:中情局誕生秘辛》,這些就是剩下的收益了。我們看看該怎麼做出選擇。找幾個人來回答一下,艾爾你來找一個吧!凱已經找到一個了,好吧,你們每人找到了一個同學啊!艾爾找的那位同學請站起來,你叫什麼名字? 學生:妮娜 教授:請大點聲說 學生:妮娜 教授:是安娜嗎?大點聲,我沒聽見。 學生:妮娜 教授:妮娜,抱歉,我說錯了。妮娜和凱找的同學請起立。請問你叫什麼名字? 學生:大衛 教授:大衛。你們認識嗎? 學生:不認識 教授:那你們兩個就去約會吧!妮娜的偏好就是參與人1的偏好,她最希望和大衛一起看《神鬼認證:最後通牒》。大衛扮演參與人2,他最想和妮娜一起看《特務風雲:中情局誕生秘辛》。請你們各自在筆記本上寫下你們的選擇,讓助教監督一下,以防你們溝通好了。二位都寫好了嗎?我們來看看他們怎麼選的吧!我想大家都迫不及待了。妮娜,大聲的對大家說,你選擇去看哪部電影啊? 學生:《神鬼認證:最後通牒》 教授:《神鬼認證:最後通牒》。那大衛你呢? 學生:我也選《神鬼認證:最後通牒》 教授:太棒了,你們協調成功了。從大衛和妮娜的協調中得不出什麼結論,這事兒還沒結束呢!很好,我們協調成功了,我們都擔心可能會協調失敗呢!接下來給這個賽局加點交流吧!我們說過溝通在協調賽局中起作用,我們再來進行一次這個賽局。假設你們又要一起去看電影,由於種種原因,第一天晚上你們都沒有看成,假裝因為有一個人感冒了,現在你們約好了週五晚上一起看電影,你們可以先溝通一下。大衛你來吧,你覺得最好事先能聯繫穩妥,所以你就給妮娜打了個電話,你會對她說點什麼呢? 學生:看來你想看《神鬼認證:最後通牒》,如果你固執己見毫不動搖的話,那我就陪你去看《神鬼認證:最後通牒》吧!這總比約會失敗要好吧! 教授:我再提醒你一句,第一次約會用固執這個詞似乎不太好吧!妮娜,你會怎麼回答呢? 學生:那我就去看《神鬼認證:最後通牒》 教授:好吧,寫下這次你們會怎麼選擇。妮娜,你選了什麼? 學生:《神鬼認證:最後通牒》 教授:那大衛呢? 學生:《神鬼認證:最後通牒》 教授:你們又協調成功了,感謝這對情侶,給他們點掌聲吧!過會我會再提問你們,但是現在我要繼續講課了。在這個賽局中,交流起到了作用,但是能說這和上一講的賽局一樣嗎?交流並沒能直接給出解決的方案。在這個賽局中,交流更困難一些,為什麼呢?剛開始不是很好嗎?問題出在哪呢?為什麼這個賽局更難一些呢?助教們請拿著麥克風。為什麼這個賽局更難協調? 學生:這裡的最佳對策是納許均衡嗎? 教授:問得很好,我們一會兒再來回答。從這個問題開始吧!這個賽局的納許均衡是什麼?誰願意回答?找個同學來回答吧!這個賽局的納許均衡是什麼? 學生:兩人都選擇《神鬼認證:最後通牒》或者都選擇《特務風雲:中情局誕生秘辛》 教授:很好。實際上,如果我們仔細看一下這個賽局,就會發現它們的納許均衡就是最佳對策,即兩個人都去看《神鬼認證:最後通牒》,或是兩人都去看《特務風雲:中情局誕生秘辛》。原因是,如果別人選《神鬼認證:最後通牒》,那我妥協吧!如果別人選《特務風雲:中情局誕生秘辛》,我也妥協,兩人就這樣達成了納許均衡。這不是什麼問題,上一講的賽局案例也是這樣的。那個賽局有兩個納許均衡,儘管一個比另一個更好些,但是這個賽局有什麼不同呢?它有什麼特別之處嗎?那邊有麥克風嗎?有位同學舉手了,請起立。 學生:每個參與人偏愛不同的納許均衡 教授:沒錯,這和之前的賽局不同。目前為止,我們看到的前兩個案例是純粹的協調賽局,它們是僅僅是協和謬誤,其中不存在任何利益衝突。比如上一講投資賽局中,每個參與人都偏好同一個均衡,但是現在討論的這個小案例呢?到底達成哪個均衡並不重要,重要的是我們要達成均衡,是這樣吧?但是這兒有個潛在的衝突。每個參與人都覺得達成均衡總比協調失敗要好得多,但是參與人1想看《神鬼認證:最後通牒》,而參與人2想看《特務風雲:中情局誕生秘辛》。我覺得妮娜的策略很好,妮娜的回答很乾脆-我會去看《神鬼認證:最後通牒》,就解決問題了。 不過也可能有溝通失敗的情況,必須有一個參與人做出讓步。我不想把問題說得太嚴重,我們不妨舉一些溝通失敗的賽局案例,或者說努力避免溝通失敗。就在此時,有一場罷工談判正在進行中,就在今天早上的底特律,通用汽車和工會的局勢變得十分緊張,我不敢斷定這次罷工就是因為缺少溝通,但很顯然地,如果能達成協定不去罷工,對每個人來說都更好一些。簽訂協議至少比大家都去罷工要好一些吧!但話說回來,他們也的確存在利益衝突,籠統地講是有關健康問題和退休金的利益問題,這很容易會導致協調失敗。 像這樣的賽局有個術語,上一講也有人提到過,誰說到過呢?我記得有人說起過,這個賽局學名叫什麼?大聲說出來,它叫性別大戰。沒錯,就叫性別大戰,我們會在這學期的課程中陸續接觸到的。它實際上是個非常有趣的賽局,這樣的賽局屬於協調賽局,但不同參與人偏好不同的結果。 講了有關協調賽局和約會策略的問題,今天我們就講這麼多了吧!既然這門課叫賽局理論,我們就得學習一下接下來要講的模型。我準備用餘下的時間來講講庫諾的雙占模型,在講它之前,我先問問你們,你們有多少人學過庫諾雙占模型?請舉手。很好,差不多一半的人學過。如果你沒學過也不必擔心,我們一起來快速回顧一下吧!但這次我們用賽局理論的角度去分析,那些之前沒有學過的同學別擔心,現在我們一起來看一遍。 這是一個經典的賽局案例,可能是最著名的賽局案例之一,很值得在我們課堂上研究一下。現在把它單純看成一個賽局理論練習,學習庫諾雙占模型的一個原因是,我們已學過怎樣在參與人較少,且策略不多的賽局中找出納許均衡,我們也討論過如何找出有很多參與人,但每個參與人策略不多的賽局的納許均衡。但這個賽局的參與人不多,只有兩個,但他們卻有很多可選策略。實際上,他們的策略是連續的。那些沒有涉足過這些知識的同學,或者經濟學學得不太好的同學,回去看看教材第六章,有詳細解釋的,所以各位不必擔心學不會了。 這個賽局之所以有趣,有兩個原因。它講的是在同一個市場中,只有兩家公司互相競爭,稍後我會給出更多的細節。從經濟學角度看,這之所以有趣,是因為這個賽局介於經濟學導論的兩種極端情況之間。一個極端情況是完全競爭,另一個則是壟斷,因此這就是它第一個誘人之處。我們要回到十九世紀,去研究一個介於兩者之間的市場。那個年代大多數市場都只有兩家公司。 我們只需要研究兩樣東西。我們需要研究這樣的市場會如何發展,其次,從政治上的福利觀點來看,我們還需要研究這對消費者有利,還是對生產者有利,這與消費者剩餘有什麼關聯。我們帶著這些問題,建立這個賽局的模型。 這個賽局的參與人是兩家公司,他們的可選策略如下,以後你會知道這是多麼重要。策略是某種同質商品的產量。也就是說,每家公司的商品產量,因為他們生產的是同質的商品。對於消費者而言,這兩種商品是完全替代品。把他們想像成兩家瓶裝水廠商吧!我估計我們會收到數百封信件,告訴我說,不是所有瓶裝水都是一樣的,尤其是從義大利和法國寄過來的那些。無所謂了,就把它們想像成是同質的吧!為了突出策略就是商品的產量,這次我們用Q來表示策略,而不用S了。用qi,q-i,q1,q2表示策略。 在告訴大家收益之前,還需要知道一些別的東西。譬如說,大家要知道生產成本怎麼計算。在這個賽局裡,生產成本就是c*q,生產1單位的產品成本是c;如果生產2單位成本就是2c,如果我生產100單位,成本就是100c,如果生產0.735單位,就是0.735c。大多數學過經濟學導論的同學都知道,這裡的邊際成本是一個常數,邊際成本就是常數c。 接下來我們還得知道如何制定市場價格,價格由如下因素決定。價格取決於兩個參數a和b,我們用方程式寫一下吧!中心思想就是,兩家企業生產得越多,即產量q1 + q2越大,該產品的市場價格就越低。我先畫出圖像,一會兒再細說,這個圖像我們以後還會講到,我把這塊黑板拉下來吧!根據剛才的方程式,q1 + q2,我們用橫座標表示總產量,縱座標表示市場價格,之前我們是怎麼說的來著?產品的價格由以下因素決定。這條圖線的斜率是-b。 我來問一下學過經濟學115的同學,這條曲線叫什麼名字?沒幾個人回答啊!我再問一遍,這條向下傾斜的曲線叫什麼?它叫需求曲線。感謝你的回答。它直觀的顯示出價格如何與產量對應,即在給定的價格上,需求量是多少。我們一會再繼續討論這一點,我們先把收益寫出來吧! 每家公司的收益跟利潤有關,這些公司的目標是利潤最大化,利潤這樣計算:p*q-,抱歉,我們先寫公司1的吧!這裡要稍微注意一下,我們先寫公司1的,然後再寫公司2的。公司1的收益取決於她的產量以及另一家公司的產量,即公司1的收益是價格乘以她的產量,再減去成本乘以她的產量,也就是說,用收入減去總成本,收入減去成本就是利潤。對經濟學不太瞭解的同學,我覺得這個很簡單,你們都能聽懂吧? 接下來我要用運算式來替換價格。我們之前已經給出了價格的運算式,用它來代換這裡的P,我把它代入到這個運算式,然後展開,透過整理我們就可以得到aq1 - bq1² - bq1q2 - cq1,這些計算過程確實很枯燥,我只是把這個算式代入到P中,然後打開整理,因為每一項都乘以了q。我還得提醒一下大家,我總是算錯,如果發現錯誤請馬上指出。這就是公司1的利潤運算式。接下來我們算公司2的,我就不算了,太沒有意思了。 現在我們只知道公司1的利潤,知道它了以後,因為公司2的運算式也是相似的,接下來我們就可以嘗試找出納許均衡了。我再找一塊黑板來寫板書,下面我們尋找這個賽局的納許均衡。兩個公司都生產商品,都希望最大化利潤,而我也想找出納許均衡,如何找出納許均衡呢?我們怎樣才能找出每家公司的納許均衡呢?不猜測的話,我們怎麼分析納許均衡呢?有誰想回答這個問題嗎?那位同學舉手了,但是錄影機拍不到。沒事,遞給他一個麥克風吧!他坐在那個角落裡,靠近過道那邊。對了,就是他。 學生:我覺得我們可以迭代剔除劣勢策略 教授:是的,可以這麼做,可以嘗試迭代剔除劣勢策略,然後看看會不會趨向於某種結果。但是我還有別的方法,更直接的方法。穿紅衣服的同學,你來說說看。 學生:把每個參與人的最佳對策看成是其他參與人策略的一個函數,然後找出兩個函數的交點。 教授:你說對了,大點聲重複一遍。 學生:把每個人的最佳對策看成別人策略的函數,然後找出函數的交點。 教授:很好,下面我們就需要表示出,參與人1對於2不同產量下的最佳產量,然後反過來寫出,在參與人1的不同產量下,參與人2的最佳產量,然後再來看看這兩者在哪裡相交,就像我們之前做的一樣。所以我們要先找出在參與人2的每個可選策略q2下,參與人1的最佳產量。我該怎麼找出最佳產量呢?看大家的樣子我就知道你們都會算,有沒有人想回答一下?動動腦筋,坐在後面的同學,站起來大聲回答。 學生:求導得出q2,取最大值的情況下,參與人1最佳對策是q2的一個函數。 教授:說得很好,接下來我們要求出最大值。最佳對策就是最大化利潤,所以我們要算出來在不同的q2下,q1取什麼值才能最大化利潤。對q1求導之後還要做什麼?還要令導數等於0。我再問一下,多少人還記得這些知識?我們在前幾講裡用到過這些知識,多少人還記得高中微積分的知識?或者還記得112的課程內容的?記得的人還真不少啊,好吧,那我們接下來對它求導後,找出一階條件,對q1求導,q1是控制變數,也就是我們想要求出的最大值,令它等於0。 我們會得到什麼呢?aq1項就變成了a,-bq1²項就變成了2bq1,而-bq1q項2變成了-bq2,最後一項-cq1變成了-c,大家都會是吧?只不過是對q1求導罷了。既然我們要求出最大值,只需要令導數等於0就可以了。給每個最大值都標注上一個帽來,在最大值處導數方程式等於0。現在的內容的確有點枯燥,儘管我們有對約會的美好追求,但我們還是嚴謹一點好啊。這個只是一階條件,是必要條件,實際上我們還需要驗證二階條件。怎樣驗證二階條件呢?需要再次求導,是吧?我們對它進行二次求導,然後看符號。這個式子的二階導數就是一階導數再對q1進行求導,只有這一處有q1,因此二階導數是-2b,它肯定是個負數了,這正是我們想得到的結果。這就驗證了,我們剛才得出的是最大值,而不是最小值。 好了,這是個關鍵運算式,我們一會還要用到它的。我們用它來解出q1,這個就是參與人1的最佳對策,它是參與人2策略q2的一個函數,它和之前的q1帽那個運算式是相等的。雖然我是很仔細地計算的,還是有可能算錯的,我來驗證一下,應該是(a-c)/2b - (2b-q2)/2,你們回家再算算,我感覺沒算錯。透過移項和通分成2b,就可以消去b了,大家再看一看我算得對不對,我總是容易算錯。這個方程式表示,參與人2不同策略下,參與人1的最佳對策。同理,對於參與人2來說,可以算出參與人1不同策略的最佳對策。 計算方法是類似的,我們就偷懶不算了。參與人1不同策略下,參與人2的最佳對策,即q2帽等於(a-c)/2b - q1/2,我只需要把參與人2和1的運算式調換,就能得出參與人1最佳對策是q2的函數,以及參與人2的最佳對策是q1的函數,而且我們用到的數學知識只是稍微與112和高中微積分有關,僅僅是單變數微積分的知識。目前為止我們可以求解了,但先等一下,我先把圖像畫出來。 下面我們一起來作出這些函數的圖像。再說一遍,參與人2的方程式是 (a-c)/2b - q2/2,這個運算式被黑板擋住了,下面我來畫出函數圖像。這與合夥人賽局有點像,合夥人賽局中,橫軸表示付出的努力,現在橫軸表示的是產量,這個表示參與人1的策略,這個表示參與人2的策略。接下來我想要知道,這個函數究竟是什麼樣子的?對與參與人2的每個策略q2,我想知道參與人1的最佳對策是什麼?目前為止大家都能聽懂吧? 就從這裡開始著手吧!我們先來參考一下之前的圖像,所以我之前沒有擦掉它。比如說,參與人2產量為0時,1的最佳對策是什麼,這個怎麼求解呢?不需要考慮經濟學的理論,用數學的方法怎麼來求解啊?假如參與人2產量為0,誰來說一下,參與人1最佳對策是什麼?我隨便找一個吧,就你回答吧! 學生:是 (a-c)/2b 教授:沒錯,大點聲說。 學生:是 (a-c)/2b 教授:把q2=0代入到算式中,這部分就沒有了,只剩(a-c)/2b。這說明什麼?我把45°輔助線畫出來。參與人2產量為0,而參與人1最佳對策是(a-c)/2b。這能說明什麼?(a-c)/2b這個值是個術語,這個值的術語叫什麼呢?這個(a-c)/2b叫什麼?不是數學的術語,是經濟學的術語。好好想想,再看看前一張圖。 參與人2產量為0,參與人1會怎樣呢?她會形成壟斷。我們都知道如何計算壟斷產出,在115或者類似課程中都學過的。先把圖畫完。這條是需求曲線,這個是邊際成本常量c,下面我們透過左邊的圖像,來找出壟斷產量,誰來說?我再隨便找一個人吧!學過115,110,150的請舉手,不是吧?肯定不止這些,這些可都是賽局理論的先修課啊!那沒學過的請舉下手,先別放下手。艾爾,你去找一個沒有舉手的人回答,誰來回答一下?你來說一下,圖中哪一點表示壟斷產量呢?就是你旁邊的女同學。 學生:抱歉,我忘記了 教授:你忘記了,好吧,還有誰也忘記了啊?如果你是司法部長的話,我忘了是一個很不錯的藉口,可惜這裡不是這樣的。誰來回答?誰來說一下啊?圖像中的哪一點是壟斷產量啊?這可真是個不錯的復習題。 學生:是邊際收入等於邊際成本的那點 教授:是邊際收益等於邊際成本的那點,我真應該找一個管理學院的人來回答。是邊際收入等於邊際成本那點,對吧?我為什麼要找管理學院的人回答呢?因為他們人生最大追求就是要搞壟斷,但問題是,我們現在沒有邊際收入曲線啊!實際上你們不知道邊際收入是多少,這個圖像中的邊際收入是什麼呢?請穿棕色衣服的同學來回答吧!邊際收益是什麼樣子的?左圖中的邊際收益圖像是什麼樣的? 學生:它等於價格曲線斜率的一半 教授:我覺得是斜率的2倍,我明白你的意思。我用另一種顏色表示邊際收入。邊際收入的圖像是這樣的。我不知道那位同學的名字,他說壟斷產量是邊際收入等於邊際成本的產量,我們都知道了,這條線的斜率是需求曲線斜率的2倍,也就是說它的斜率是-2b。 好了,我得說明一下,我之前說的壟斷產量直覺告訴我們,如果另一家公司不生產,我們的最佳對策是壟斷產量,這圖像中就能看出來的,透過數學計算也是一樣的,雖然我一直認為數學很枯燥乏味。壟斷產量是(a-c)/2b,兩種演算法都一樣。為什麼說兩種演算法結果一樣呢?看一下這裡,這條線斜率是-2b,它最低能到哪裡呢?最小是a-c,這條粉色的線要經過縱座標a-c,斜率-2b的線還要經過哪個橫座標呢?答案是(a-c)/2b,絲毫不需要微積分,高中數學知識足矣。 因此壟斷產量是(a-c)/2b。再問一下,大家都明白了嗎?我是說可能代數部分你沒看懂,但你們以前見過類似的圖像吧?對於學過115或者想要學習150的同學,這是一個不錯的復習案例。現在我們只找到了最佳對策曲線上的一點,我們還需要找到更多的點。現在12點20了,我們得快點了。我們試著再找一個點,我們再想另外一個問題。公司2的產量達到多少時,公司1會選擇停產呢?重複一遍,公司2的產量是多少時,公司1的最佳對策是產量為0呢?你叫凱特吧?你來回答吧!把麥克風遞給凱特,穿綠上衣的女士,她旁邊就有一個麥克風。 學生:產量是(a-c)/2b 教授:沒錯,只需要解出當 (a-c)/2b-q2/2=0 時q2的值即可。q2為何值時,這個算式等於0呢?凱特的回答其實就是算出這個的解,即q2=(a-c)/b。好了,那這一點在圖上怎麼表示呢?再回顧一下經濟學的知識,這裡要用到以前學過的一個量,這個量是 (a-b)/b。如果公司2生產這麼多,公司1就會停產,但這只是數學問題,在圖上怎麼表示這一點呢?公司2的產量是多少的情況下,公司1才能被迫停產呢?遞給他一個麥克風。 學生:應該是在邊際成本與需求曲線的交點上 教授:沒錯,就是這點,邊際成本與需求曲線的交點處。從中能夠得出什麼呢?我們來看一下。假設公司2產量一直提高到這裡,即公司2生產了全部這麼多的單位,這樣公司2的產量會導致價格下降直到成本價格。如果我是公司1,我要是再生產,價格會怎麼變動呢?如果我再額外生產一些產品,會對產品價格產生什麼影響?產品價格會被壓到成本以下,這就導致成本是c的瓶裝水只能賣到p,這個價格都不能撈回本錢呢!所以我生產的每件產品都會虧本,大家都明白了嗎? 再重複一遍,如果公司2的產量一直增加到這裡,那麼公司1的每一件產品必須降價出售,這種情況下,價格會低於成本,你越生產越賠錢。在經濟學115的課程裡面,這個量的學名叫什麼呢?需求曲線和邊際成本的交點叫什麼?是完全競爭產出,這個就是完全競爭產出。在完全競爭市場中,這就是最終的市場價格。這個案例的情況不是完全競爭市場,但是如果是,這個就是最終的價格。 這樣我們就算出了壟斷產出,還有完全競爭產出。二者之間的圖線是什麼樣的呢?誰知道?是條直線。謝謝你的回答,兩點之間就是一條直線。這是公司2每種策略下,公司1的最佳對策。看大家的表情好像是非常難的樣子,其實沒那麼難。你們大多數人都學過吧?如果沒學過也沒什麼,我只不過是稍微用了點微積分,做了點代數運算,然後就畫出來了。公司1的最佳對策是q2的函數,q1的函數即公司2的最佳對策,是什麼我們當然也能算出來。提醒一下各位,這個圖像的意思是,任意給出公司2產量,然後透過這條粉色的線,就可找出與之對應的公司1的最佳對策。如果公司2的產量是這麼多,那麼公司1的最佳對策就是這個產量;如果公司2的產量是這麼多,那麼公司1的最佳對策就是這個產量。反過來,如何由q1求公司2最佳對策的方程式?方程式會是什麼樣的呢?你前面的那兩位同學,大聲點。 學生:它關於45°線對稱 教授:很好,它關於45°線對稱,那我們就把這兩個點對稱過去,一個點在這裡,這個點呢?我有點沒畫好,差太多了,重新畫吧!我畫得偏差太大了,應該是線的問題,但這無所謂了。這裡表示公司2的壟斷產出,這裡是公司1的完全競爭產出,如果我畫得準確的話,這段應該是整段長度的一半,不過我沒畫好,你們在筆記本上好好畫一下吧!這點是(a-c)/b,這點是 (a-c)/2b,這兩段長度應該是相等的,我畫的一看就不相等。這條綠色的線表示,任意給出公司1的產量q1,根據這條綠線的對應法則,就可以對應出公司2的最佳對策。目前為止,有多少人見過這個圖像?看來有不少人以前見過啊!我那隨便找個人來問個問題吧,我隨便找個人來問問吧!隨便找一個坐在邊上的人就行,就你了。我問個有難度的問題。這個圖像的納許均衡在哪裡? 學生:在綠色與粉色線的交點處 教授:沒錯,就是綠線和粉線的交點,這點就是納許均衡了,這不難,是吧!好吧,那我再來問一下,為什麼說這點就是納許均衡呢?因為這一點與合夥人賽局的情況一樣,兩者的情況是很類似的。合夥人賽局中最佳對策曲線的交點處,參與人1採用了回應參與人2的最佳對策,參與人2採用了回應參與人1的最佳對策,因此這點就是庫諾賽局的納許均衡了。 我們不妨也佐以數學計算驗證一下。我們只需要令這兩個運算式相等,在這裡標注上*號,想要求出納許均衡,就要令q1*=(a-c)/2b-q2*/2以及 q2*=(a-c)/2b-q1*/2,代入q1=q2來解出這個方程,這是因為這個賽局是對稱的,而且是關於45°線對稱。因此,我只要透過代數運算,就能解出這個等式。咱們來試一下。把q1寫在這,如果替換掉q1會得到什麼?會得到q1*=(a-c)/2b-q1*/2,等式兩邊同時乘以2,得到 2q1*=(a-c)/b-q1,把q1*移項後,可以得到3q1*= (a-c)/b,最後兩邊同除以3,得 q1*=(a-c)/3b,因此交點確實是(a-c)/3b。我得問問助教們,檢查一下我是否算錯了?這被稱作庫諾產出。 這個賽局,這個關於兩家公司產量競爭的賽局,早在納許出生一百多年前,就被一個法國的經濟學家庫諾研究過。一百多年前,賽局理論還沒有誕生呢!那時就有人解出了這個賽局的答案。我們總結一下所學到的知識吧!先把算式留在那好了,我在這裡再抄一遍吧。q1*=q2*=(a-c)/3b,到目前為止我們的計算真的很繁瑣,但是我覺得我們沒學到什麼東西呢,我們只是解出了一道題罷了。下面我們從中總結點經驗出來,那些因為代數和微積分計算,還有繪圖而感到十分不爽的同學,你們是不是感覺被我拐了,才會選這門一點都不像經濟學的課啊?稍安勿躁,我們馬上切入正題。 這個賽局中最明顯的一點,也是直接能觀察出來的,是這個賽局和其他賽局有很大不同。它與合夥人賽局就不一樣,很顯然二者的研究物件不同,但我是說二者涉及的賽局理論也不同。它與合夥人賽局不同,與投資賽局也不同,這個賽局的不同之處在於-從這個圖上能很明顯看到的,它確實與合夥人賽局有所區別。合夥人賽局的最佳對策曲線是向上傾斜的,我如果採用付出更多努力的策略,其他參與人的最佳對策也是這樣。在投資賽局中,我投資的機率越大,你們也就越想要投資。 但這個賽局恰恰相反。參與人1的產量越多,參與人2就會減產;如果參與人2增產,那麼參與人1就要減少產量。這不是一個策略互補賽局,而是策略替代賽局,這一點大家要注意啊!並不是說這些商品是替代品,它們確實能成為替代品,是吧?如果兩家公司生產同質的瓶裝水,那麼它們的產品是可以互相替代的。但重點不在這裡,策略替代是一種策略,這是對於賽局性質的一種描述。策略替代就是說,我的策略是你的策略的一種替代策略,我的策略實施越多,你的策略就會實施越少。反之,你的策略實施越多,我的策略就越少。 現在我們來回答剛剛講課時提到的問題,是與社會現實中的利潤有關的問題。我們知道,如果這些參與人進行賽局,至少我覺得在納許均衡條件下,他們會安排這樣的產量。那我再問大家一個問題。每一家公司都盡力實現利潤最大化,可整個行業總利潤是怎樣計算的呢?每家公司都會採取最佳策略,來根據對手的行為達到最大化利潤。但是此情況下,行業利潤是否最大化呢?誰覺得行業利潤也最大化了?誰認為行業利潤沒有最大化?很好,大聲說出來。行業利潤並沒有最大化。我隨便找個同學來回答一下。在圖上哪一點實現了行業最大利潤,叫過他了啊?要不你再回答一遍,找他來回答吧! 學生:應該是在壟斷的情況下吧! 教授:壟斷情況,完全正確。顯然,根據定義,壟斷產量使行業總利潤達到最大化。比如公司2停產,而公司1生產壟斷產量,壟斷產量會使行業利潤最大化。反之,公司1停產,而公司2生產壟斷產量,這樣也能最大化行業利潤。還有哪點能實現行業利潤最大化呢?誰來回答?這點會使行業利潤最大化,這個點也會,還有沒有其他點?誰來回答下? 兩點之間還存在滿足條件的點嗎?在這點是公司1停產,公司2壟斷,而在這點是公司2停產,公司1壟斷。但也可以把壟斷產量分開呀!比如一家生產一半。所以如果你們想多賺錢,唯一能做的就是簽協議。我們不要按庫諾產量生產了,各自生產壟斷利潤的一半多好呢?我說錯了,是壟斷產量的一半。這樣雙方都按照這樣的協議生產,即公司1生產壟斷產量一半的商品,公司2也生產壟斷產量一半的商品,這種協議有什麼問題呢?有兩家瓶裝水公司,比如說波蘭泉和可口可樂,他們簽署了協議規定,每家都只生產壟斷產量的一半,這個協議有什麼問題嗎?穿紅衣服的那個男生來回答。 學生:首先這是違法的 教授:它是違法的,就算是司法部長不知情,司法部門也會有人會發現。這樣的協議是違法的,簽訂這樣限制產量的協議屬於違法行為。因為是違法的,合同也就無效了。不過他們可以私下達成默契,假如可口可樂和波蘭泉達成默契了,同意各產壟斷產量的一半,那這樣的默契存在什麼問題呢?假設我們正在進行這個賽局,假設這是可口可樂的產量,這是波蘭泉的產量,你是波蘭泉的經理,緬因州的地下水都是你的,你也知道可口可樂的產量是這些,數量是qM/2。我找兩個同學當經理,找兩個發過言的人吧,穿紅襯衫的男生叫? 學生:斯蒂文 教授:斯蒂文是可口可樂的經理,再請出上周的詹姆斯•史都華,叫派翠克的那位同學來,請給派翠克一個麥克風。史蒂夫和派翠克分別是可口可樂和波蘭泉的經理,派翠克認為可口可樂的經理打算-或許該用可口可樂和百事可樂,他們倆才是對手,是吧!那就可口可樂和百事可樂吧,這會更容易理解。百事的經理派翠克認為,可口可樂會按照協議產量來生產,他也會這麼做,那實際上派翠克怎麼做的?派翠克你準備怎麼辦? 學生:我會違約選擇我最佳對策的產量,我會生產出遠遠多於協約量的產品來。 教授:好的,派翠克是百事可樂公司的經理,他會生產更多這種難喝的飲料,產量是這麼多,這點表示什麼呢?表示派翠克在面對其他人按照壟斷產量生產時的最佳對策。百事可樂公司面對壟斷產量採取的舉措是增加產量,實際上增加產量就會導致產量逐漸接近庫諾產量。派翠克是這麼制定產量的,那可口可樂會怎麼做呢?可口可樂的人很瞭解派翠克,他們做同行有段時間了。可口可樂的經理叫什麼來著? 學生:史蒂文 教授:史蒂文。史蒂文很可能知道,派翠克的實際產量是這麼多,抱歉,是這麼多,那你會如何制定產量? 學生:我會根據最佳對策曲線來增加產量 教授:很好,史蒂文預料到到派翠克認為自己是個傻瓜,然後派翠克會違約增產,那麼史蒂文的最佳對策就是生產這個數量的產品,這是什麼?這是參與人2的最佳對策,即參與人1對於2半壟斷產量的最佳對策。但是派翠克也很瞭解史蒂文,他知道可口可樂的經理都很精明,派翠克知道可口可樂的經理會預料到,派翠克會違約,因此可口可樂的經理就會尋找最佳對策。因為派翠克違約在先,那麼派翠克會生產多少呢? 學生:我會增加產量,會非常接近庫諾均衡產量。 教授:好的,你準備生產這麼多,這點在這裡,都寫不下了。它表示參與人1對於參與人2的最佳對策,是參與人2生產壟斷產量一半的情況下的。這裡有一大堆的括弧,有誰知道最後會怎樣呢?它會達到納許均衡,每家公司都想採取預料的對方策略的最佳對策來制定產量,這個賽局-如果他們一直這樣做,最終會達到納許均衡的狀態。但請注意,並非所有賽局都會這樣,但在這個賽局中,互相採取最佳對策,預料到了對方會違約,或者對方預料到了我會違約,或者對方知道我會預料到他會違約-以此類推,那麼最終還是會達成庫諾產量的。 因此說,想要透過私下協議來維持壟斷產量是非常困難的。我們都缺乏強制力,我們是可口可樂和百事可樂公司,我們都不想將黑手黨捲進來。可能也希望他們介入吧,誰知道呢?但不管怎樣,在這個口頭協議不起作用,我們都有違約生產更多這種糖水的動機。 實際上,這並非兩個想維持壟斷產量的企業需要面對的唯一問題。現實中,公司想要達成這樣的協議,而非合同,想要維持壟斷產量還會遇到什麼問題呢?你想一下,企業想要達成協定,我們都知道不能簽署違法合同,那就只能私底下簽協定了。比如1900年,甚至更早的美國,假如是1880年的美國吧,在當時這種限制產量的合同是否違法?在司法上沒有明確的界定,當時的企業紛紛簽訂了這樣的協定,但仍然有問題出現。究竟是哪出了問題?我們有點扯遠了,回到正題上來吧。到底是哪裡出現了問題?找個離話筒比較近的來回答下,那個穿耶魯校衫的女生你來回答吧。 學生:不是合同就缺乏強制力 教授:好的,但是我剛才說了強制性的問題,雖然說那是1880年的美國,當時這種合同是否違法沒有明確的界定,強制性是一個問題,但那也是在很久以前的問題。還有什麼?她旁邊的同學。 學生:如果他們不按照完全競爭產量生產,就可以透過降低價格來搶佔市場。 教授:請大家注意,我們以後才會講到這一點的,現在只考慮產量的競爭,我們壓根兒都沒有提價格的事兒。我們只是生產可口可樂和百事可樂,只是投入市場造福百姓而已,誰還有別的想法呢?我來說吧,問題出在這裡了。假設可口可樂和百事達成了協議,不管簽的是協定還是合同,只要能透過協約維持壟斷產出,透過制定高價來達到正的利潤就行。這樣價格是高於成本的,兩家公司都有利可圖,那這個行業接下來會發生什麼?現在這是一個有利可圖的行業,接下來會發生什麼呢?艾爾,把話筒給穿藍襯衫的小夥子。 學生:別的競爭者會加入市場。 教授:別的公司會加入並生產同質產品,比如佩珀博士或者其他公司。其他公司會參與進來也生產可樂,這就是上個世紀末在美國發生的事情。公司之間簽署了限制產量的協議,比如說有造紙業、橡膠製造業、煉鋼業、冶鐵業、鐵路運輸行業,當然還有更複雜的行業,不久你就會發現有大量的新興公司進入了這個領域。他們發現先入行公司在限制產量,就也進入行業來賺錢了。大批新公司的進入,引入了競爭機制,壓低了市場價格。剛才我說的就是,在二十世紀美國的哪些行業發生了巨大的變革,我們知道美國全盛時期有這樣的先例。還有什麼行業原來也有產量協議,但新公司進入後卻導致協議瓦解呢? 學生:航空業 教授:很好,航空業是一個很典型的案例。別的呢?石油產業也是個典型案例吧!航空業也是個不錯的案例。眾所周知,在上世紀六七十年代,為了限制石油的產量,主要產油國成立了OPEC組織,但是很快就有一些國家利用這點來產油獲利,誰是與OPEC競爭的新興勢力呢?是英國、不列顛、英格蘭和蘇格蘭。英國首先在北海開採石油,後來很多拉美國家也開始開採石油了。當然俄羅斯採油收入也是頗豐的。 這樣的私下協議難以維繫是有多方面原因的,一方面大家都有違約的動機,另一方面會有新人加入。下課前我們解決一下上課時提的問題。假如我們處在庫諾產量的情況下,現在我們處在庫諾產量下,第一,該產量下的價格產出和壟斷價格產出相比有何不同?和完全競爭價格又有什麼不同呢?我們能夠算出來產量是多少,我們能夠算出來的。我們知道產量是多少,每家公司的產量是(a-c)/3b。而且市場中有兩家公司,這樣整個行業的總產出就是2(a-c)/3b。 這與壟斷產量相比有何不同呢?壟斷產量是(a-c)/2b,完全競爭產量是(a-c)/b。提示大家一下,這幾點都在圖上呢。這裡是(a-c)/2b,這裡是(a-c)/b,這就是在庫諾賽局中的納許均衡。它和壟斷產量以及完全競爭產量相比,有何不同?誰來回答?參照著黑板說,哪個值更大?我說吧,這種情況下的總產出比完全競爭產量要少,但比壟斷產量要大,我是不是把你們弄糊塗了?此情況下的總產出比完全競爭情況下的要少,但比壟斷情況下的要大。相應的,價格則呈相反趨勢。壟斷情況下的價格最高,完全競爭情況下的價格最低,庫諾均衡時價格處於兩者之間。 從生產者的角度來看,庫諾均衡劣於壟斷,優於完全競爭;而從消費者的角度來看,庫諾均衡劣於完全競爭,但優於壟斷情況。如果可口可樂是唯一的生產者,並且你很關心牙齒健康的話,或許你就不應該生產這麼多產品了。到現在為止,我們只學了經典案例,我承認這不是什麼有趣的賽局,只是賽局理論在不完全競爭市場的應用。下一講我們講得會更深入一些,但下一講我們不講這個案例了,我們用其他賽局方法研究不完全競爭。 2007年9月24日 *****