迭代剔除及中間選民定理

講座三

我們將上堂課提到的主要概念,即迭代剔除劣勢策略做應用,來分析在選舉中候選人可以如何選擇自己的政治立場。然後思考用這個經典模型來描述實際政治進程的效用為何,以及我們可以如何建立並改進它。在本課的最後,我們引入一個新的、超出迭代剔除範圍的概念。思考我們對於其他參與者將有什麼行動的信念,然後自問,在已知的信念之下,對我們來說,選擇何種策略才是最佳的?

講座三:迭代剔除及中間選民定理

    Ben Polak 教授:上一講我們著重討論了一個知識點,我還沒說它的名稱,用術語說。我們講了剔除劣勢策略,觀察某個賽局,先找出劣勢策略,剔除劣勢策略,再繼續審視這個賽局,找出哪些現在也成了劣勢策略,然後剔除它們。如此反覆進行,這個過程被稱之為迭代剔除劣勢策略,巴裡的書要是叫這個名字可不高明啊!想要賣到250美元,我們得想個更好的名字,因為這個名字太枯燥了。但沒關係。 迭代剔除劣勢策略揭示了以下過程的主旨,站在對方的立場上去換位思考,推測對手的行動策略,同時想像對手也會站在你的立場,推測你的行動意圖,如此反覆進行。透過上節課的賽局,我們可以看出,這是個非常重要的概念。同時我們也發現過度照本宣科也不好,有時他會導致你對於問題的過度探究。 正如我們上次玩的數字遊戲。最優選擇,最後獲勝的答案,有時不會繞那麼多彎子。我們同樣可以發現,在某些賽局中,不是所有的賽局,迭代剔除劣勢策略最終會導致唯一的選擇,在數字遊戲中最後就只剩1了。所以再次強調,站在我們自己的立場上說,我們不應採用劣勢策略,應該剔除它們,其他人也會這麼做,因為其他人也不會採用劣勢策略。先剔除劣勢策略然後重新觀察這個賽局,尋找是否有新的劣勢策略,剔除他它們,再重新研究等等。我能把那個過程寫下來,在上次的賽局裡就是這樣的,這樣比較容易找到最終結果。 這裡有一個竅門,在剔除之前試著找出所有參與人的劣勢策略,然後再剔除它們,重新審視賽局,再次尋找所有參與人的劣勢策略,再剔除它們,這樣可以讓你免於陷入困境。今天的課程會不那麼抽象,如果你們願意的話,我想在這裡列舉一個應用案例,一個政治領域中著名的立場選擇問題。 一個在政治模型下的案例。這個案例是這樣的。假設有兩個候選人,而這兩個候選人為了選舉,必須確定自己的政治立場。 他們是參與人,策略是什麼呢?就是他們要從一系列政治主張中,選擇一個政治立場。簡單點說,一系列政治主張中共有10個立場,這10個立場我們分別稱為1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。很複雜,這是什麼意思呢?這個賽局我們還沒描述完整,這是什麼意思呢?最靠近這裡的立場代表左翼分子的立場,而這邊則是右翼分子的立場。被講臺擋住了嗎?讓我們移開。 你們能想像極端左翼人士什麼樣嗎?我猜這些人呢,他們只吃水果,認為樹也有投票權。這些則是代表極端右翼的立場,他們認為窮人沒有投票權,而且他們剝削移民。我是移民,所以我要小心點才行。這兩個候選人需要選擇自己的政治立場。我們假設,本案例純屬虛構,我們現在假設,每一個政治立場都會有10%的得票,每個立場都會得到10%的選票,他們平均分佈。 我們假設,選民會投票給離他們最近的候選人,選民會投給最近的候選人,就是最接近自己的的候選人。我們需要假設一個解決平局的方法,我們確實也需要解決平局問題,出現平局時選票會分攤,即該立場的選票會被平均分攤。如果是平局,一半的選票劃給其中一個候選人,另一半給另一個候選人。現在這是個賽局,有了參與人了,就是候選人;有了策略了,就是政治立場;還缺少什麼?還缺少收益,對吧?我還沒有提到收益。在這個賽局中如何確定收益很重要。我們假設這個賽局的收益是,候選者希望盡可能最大化獲得的選票。 但這還不是這個假設的全部內容。我們假設他們真的非常想獲勝,獲勝會帶給他們巨大的收益,失敗則一無所獲。我們來再進一步假設,最大化怎麼拼?就用max代替吧!假設他們想要最大化自己的得票數,這麼假設沒什麼不妥,因為你可以認為獲得更多的票數,意味著你會獲得委任機會,或者把它看成是總統大選的初選。獲得更多的票數,對你下一輪的選舉起到積極作用,所以我們假設他們會盡可能地最大化自己的得票數。 我們都想知道這個賽局會怎麼進行,這是一個有普遍性,也很重要的賽局。好,先看看我們都學了哪些知識點。首先想到的是,這裡的策略是什麼?有10個策略可以選,這裡有劣勢策略嗎?這裡有劣勢策略嗎?讓我們來看一下。助教們請準備好話筒。這裡有劣勢策略嗎?那位穿藍衣服的先生,站起來大聲說。 學生:1和10 是劣勢策略 教授:你叫什麼名字? 學生:斯蒂文 教授:斯蒂文說1和10,我們稍後說10。你說得很對,我們稍後說10。他說到立場1,也就是策略1,即選擇最極端的左翼立場是劣勢策略。那麼哪個策略優於它呢?斯蒂文,你來大聲回答一下。 學生:策略2 教授:例如策略2。我們推測策略2優於策略1,這個是推斷。這裡要注意,策略2優於1意味著什麼?意味著選擇立場2,會比選擇立場1獲得更多的選票,無論另一個候選人如何選擇。這不意味著立場2會擊敗立場1。 讓我們看看斯蒂文的推測對不對。首先,先來看看如果你選擇立場1和2,在你對手選擇不同立場時,你分別能獲得多少選票。比如說,我們現在來驗證一下,策略2是否優於策略1。當我們這麼做的時候,也會明白收益會起到怎樣的作用。不妨來看看對手選立場1的時候。假設另一個候選人選擇立場1,另一個候選人選擇立場1,我們來計算當對手選立場1時,我也選立場1獲得的收益,我們再計算當對手選擇立場1時,我選擇立場2獲得的收益。 讓我們算算看,有人能說一下嗎?如果我們都選擇立場1時,我能獲得多少選票?很簡單對嗎?兩人平局,各得50%。如果我選立場2,而對手選立場1呢?對手會得到立場1的選票,而我得到剩餘的90%選票,在這種情況下選擇立場2比1好。但是我們還沒有說完呢!我們還要考慮對手的其他選擇。 假設他選擇立場2,當我選擇立場1而對手選擇立場2時,或者如果我們都選擇立場2,我的收益會是怎麼樣的?我選立場1對手選立場2,我收益是什麼?我得到選擇立場1的10%選票,對手得到剩餘90%的選票,對嗎?所以我只有10%。如果兩人都選了立場2呢?各得50%選票,皆大歡喜呀!綜上所述,選擇立場2確實比1好,每個人都滿意嗎?我們證實了這個選擇更好,而且這個策略更好,我們接下來繼續計算。 對手選立場3,現在來計算我選立場1對手選立場3,或者我選立場2對手選立場3的情況。如果我選立場1,對手選立場3,我能獲得多少選票?我會獲得所有立場1的選票,和立場2一半的選票,就是15%。如果我選立場2他選立場3,我會得到20%的選票,立場1和立場2的選票都歸我,所以是20%。大家都明白了吧?讓我們再繼續,看能不能找到規律。如果我選立場1對手選立場4,與我選立場2對手選立場4比較。如果我選立場1對手選立場4,我會獲得多少選票?我會得到立場1和2的全部選票,就是我得到20%的選票,而她得到剩下的選票。如果我選2她選4呢?我會得到立場1和2的選票,以及立場3的一半選票。這樣一來,我得到25%的選票,依次類推。 我可以就這樣一直算下去,但還是到此為止吧!因為再這樣下去會很無聊。我想你們已經可以看到其中的規律了,規律是什麼呢?有規律可循嗎?有人知道嗎?有人舉手了,把話筒給他,把話筒給那個白衣服的男生。站起來,大聲說出你的答案。 學生:立場2永遠優於立場1 教授:立場2永遠優於立場1,除了這個應該還有其他發現,你說的對,但是這裡有什麼規律,把話筒給這裡的人。 學生:無論如何,選擇靠近立場5的收益,總是比遠離立場5的收益要好。 教授:這不是我要找的規律,看看這些數字,15%、20%,還有20%、25% 等等,有什麼規律嗎?斯蒂文你來說吧! 學生:如果你的對手不選1立場或者2,你選擇立場2總會比選擇立場1多得到5%的選票。 教授:完全正確。所以忽略前兩個立場,因為前兩個立場有點古怪。我們選立場2總比1多獲得5%的選票,無論對手如何選擇。如果你願意的話,你可以依次檢驗剩下的6個立場,結論是一樣的。你會發現斯蒂文說的很對。從這裡開始,選立場2總會比選立場1多獲得5%選票,事實上,會以5%的差額遞增,事實的確如此。我們可以得出結論,立場2優於立場1,或者更進一步說,立場2嚴格的優於立場1,策略2嚴格優勢於策略1。 還有哪個是劣勢的呢?斯蒂文已經說了立場10是劣勢策略,我不想再花時間證明了,每個人都可以看出這他們是對稱的。稍等一下,大家都應該能看出來同樣的,立場9優於立場10,對嗎?很明顯對吧!和剛才原理是相同的,就是方向相反。同樣,立場9嚴格優勢於立場10。我們不是說選立場2會擊敗選立場1,選立場2能贏立場1,或者選立場9能贏選立場10。我們說選立場2總是優於立場1,無論對手如何選擇,選立場9總是優於立場10,無論對手如何選擇。那個人有疑問?把話筒給他,站起來大聲說。 學生:我想你之前已經定義過了,但是我在課本裡沒有找到「嚴格」的定義。 教授:好的,你在講義裡能找到的,我記得講義裡好像講了,以防萬一,我們課堂上有兩個定義,在其中一個講義裡面。這裡總結出立場1劣於立場2,立場10劣於立場9,還有其他的劣勢策略嗎?讓我們看看立場2是不是劣於立場3。我忘記你的名字了,你叫什麼名字來著? 學生:蘇蒂帕 教授:蘇蒂帕之前提到過,我們應該選更靠近5的立場,而立場3比立場2更靠近立場5。立場2劣於立場3嗎?有人知道嗎?請舉手。有人舉手了,把話筒給那位女士。 學生:一旦你剔除了劣勢策略,再次審視這個賽局時,立場2劣勢於立場3。 教授:你比我們講的超前了,很好,我們會講到那裡的,暫時說到這裡。但是如果我們不剔除任何策略呢?讓我們看看,我們來檢驗一下。那我們不妨來檢驗看看,如果對手選立場1我收益如何。我選立場2他選1,我得90%選票,要是我選立場3對手選1呢?我會少獲得5%,而得到85%的選票,所以說立場3不優於立場2,3不優於2。因此,如果對手選擇立場1,我選立場2會比選立場3得到更多的票數。因此說立場2劣於立場3,那個女生,我忘了她的名字了。 學生:克裡斯汀 教授:克裡斯汀指出,請再把話筒遞給克裡斯汀,請你再說一下剛才的觀點。我們知道選立場2並不是劣勢策略,它並不劣於選立場3,但是…但是什麼? 學生:,當你剔除劣於策略2的劣勢策略1,或者說立場1處於劣勢,當你剔除策略1和10之後,2就變成劣勢策略了。 教授:克裡斯汀說的是,即使選擇立場2不是劣勢策略,如果我們迭代剔除劣勢策略。我們剔除掉了劣勢策略,然後再來回頭看看還有沒有劣勢策略。我們需要注意的是,我們並沒有說要剔除立場1或者立場10的選票,雖然我們希望能這樣。我們只是想,我們要說的是,我們知道候選人不會選擇立場1,同樣也不會選擇立場10,因此我們要剔除這兩個策略,但是選票還是這樣分佈的,我們來看一下。 所以我們說到關鍵了。如果我們剔除劣勢策略1和10,那麼策略3優於策略2嗎?我們再來看一下,我們來檢驗一下,我們先看看我選立場1,我們先從選立場2開始吧!如果雙方都選立場2,則各得50%選票,我選立場3對手選2的情況下呢?我選立場3的收益是多少呢?有人知道嗎?我選立場3對手選立場2的收益是什麼?80%的選票,選立場2的人會得到立場1和2的全部選票,選立場3的候選人會得到剩下的選票,所以立場3會得到80%的選票。如果對手選3而我選2,我會得到立場1和2的全部選票,一共20%,雙方都選立場3的收益,就是各得到50%,握手言和。 所以選擇立場3更好。對手選4而我選2的收益是什麼呢?對手選4我選2,我能獲得多少選票?就是立場1和立場2的全部票數,加上立場3票數一半,一共是25%。當對手選4我選3的收益,就是立場1的選票,加上立場2和立場3的選票,一共是30%,立場3收益更多。再算一個。對手選立場5我們選立場2的收益。我把它推上去一點。對手選5,我的收益就是立場1加上立場2和立場3的全部選票,一共是30%。對手選5我選3的收益呢?就是立場1加上立場2以及立場3的全部選票,再加上立場4的一半選票,一共是35%。 至此你會發現,後面的情況也是一樣的。如果我不怕麻煩,我能一直這麼寫下去。我們發現選擇立場3總是比選擇立場2使我多獲得5%的選票,在對手選更靠後的立場的情況下。斯蒂文以前曾指出過相同的問題,我又忘了你的名字了,抱歉啊! 學生:克裡斯汀 教授:克裡斯汀說的很對。一旦我們剔除了策略1和10,一旦我們意識到不會有人選擇這些立場時,我們會發現,選立場2或9可能也不是個好主意了。策略2和9本不是劣勢策略,但是當我們明白無人會選立場1和10的時候,它們就變成劣勢策略了。好吧,現在我們講到哪了?我們講到哪了?這個討論會怎麼結束呢? 讓我們回到最初的賽局。我們已經知道無人會選立場1和10,因為它們是劣勢策略。我們明白了-一旦我們知道了無人會採用那些策略時,那麼也沒有人會選立場2和9,這個賽局最後會怎麼樣呢?讓我們放慢一點。在第一次推理中,1和10是劣勢策略,我們知道無人會採用它們,我們就不會去採用它們,但要記住選票還在,我們僅僅剔除了這些策略。我在第二次推理上畫兩個叉,立場2和9,然後我們排除立場3和8,然後我們排除-我們應該也能排除4和7及5和6,如果我們按照這個程序迭代剔除劣勢,不斷回頭看看那些策略是劣勢的,最終將只剩下立場5和6。 所以從中我們總結出來,候選人會選擇5和6。在選立場5或是6二者中有劣勢策略嗎?沒有,它倆打個平手,對吧!所以到最後,這個過程,即迭代剔除,我們簡寫成:it del,最終只剩下了策略5和6了。 這只是一個簡單的案例罷了,我的意思是說,我希望這只是個簡單案例,讓我看看那裡,大家都明白了嗎?這應該並不難。與此相關的東西,事實上並不難,實際上一點也不難,有關的東西都是相關聯的,這個是和現實世界緊密聯繫的,實際上這是一個著名的政治學模型,有人知道這個模型叫什麼嗎?最終可能的結果是什麼?預測最終結果是,候選人會被擠到中間立場,他們會選擇與對手相近的政治立場,且相當的中立,有人知道它叫什麼嗎?先保留你的想法,後面的同學,大點聲說。中間選民定理。謝謝你。 讓我們換一塊黑板,這一塊就行。預測的結果是,候選人會擠在中間。在政治學裡,這被稱為中間選民定理。它之所以叫中間選民定理是因為,處在中間位置的選民,比如這個案例中立場5和6,實際上他們不止左右了選舉結果,而且還決定了那些政策可以施行。它怎樣作為現實世界的一個預測呢?在美國歷史上就有一個案例,此案例中,中間選民定理非常奏效,那是些相當古老的案例,它們發生在你們出生之前,不過我們還是提一下。 我想如果你們今天回家去看甘迺迪和尼克森1960年競選的錄影,美國學生幫我確認一下,是60年吧?我記得是在60年,確實在1960年。在甘迺迪和尼克森兩人中,如果你要是看過錄影帶的話,聯想到甘迺迪在當今的聲譽,你會對他當時的保守姿態深表詫異。他們實際上都聚集在中間立場,而八年後尼克森似乎也學到了教訓。如果你回顧68年尼克森勝出的那次選舉,尼克森在那些表達他政治主張的選舉錄影裡看起來,作為一位共和黨人士的他卻並不保守,這一次他們又都擠到中間立場上了。有人說92年克林頓也採用一樣的伎倆,他將民主黨向右翼靠近,也就是說變得中立,以此來拉攏中間選民並獲勝。 因此從美國歷史上的選舉案例裡看,中位數選民定理非常奏效。我們一會再深入討論這個問題。在此之前,我再來列舉一個模型,是經濟學裡面一個完全類似的模型,已經有人在研究了。它在經濟學的應用是產品植入,這是傑克正在研究的領域。 在產品植入領域裡,假設你考慮設立一個加油站,你會想,如果加油站能均勻覆蓋城鎮每個角落,或者遍佈整條公路那該多好,這樣無論你在哪裡需要加油時,附近就會有一個加油站,那該會非常的方便。但很不幸的是,加油站,如我們所知,它們一般都設在相同的地點,他們趨向設立於同一個路口,對吧!為什麼呢?因為他們試圖,他們都為了拉攏附近客源,或是那些剛剛耗完汽油的顧客而相互競爭,它們透過擠在一起,避免自己因為選址的問題而被淘汰出局。 我說的有點快,但是我們以後會再次回顧這個問題,並作深入的研究的。在政治學中,這是關於候選人集中趨向中間立場,從而拉攏更多立場相近選民的理論。在經濟學中,他表現為商業普遍集中,以試圖爭取附近的客源。與之有關的一個人,叫安東尼•唐斯,他寫於1957年的一本政治學著作中,對此理論有所涉及。在經濟學領域裡,有一個叫霍特林的人,他在1929為此寫過一篇論文。在政治學裡,他們稱之為同時期發現。我覺得1929年還是有點早了,但也無所謂了。 接下來我想要做的事,定期地在課堂上建立模型,然後分析這個模型。我們使用賽局理論來分析一下,我希望大家能得出我們的假設是否合理。我們如何看待這個模型的優缺點呢?我想你們應該考慮下,你相信這個模型嗎?這是一個不錯的政治學模型嗎?它缺少什麼?讓我站下講臺一會,這樣我可以鼓勵大家都參與到討論中來。你們有多少是政治學專業的?政治學專業的同學請舉手。 順便問下,你們這些政治學專業的學生中,有誰以前聽過這個模型嗎?有一些人聽說過,那這個模型缺少什麼?你們都生活在美國,你們生活在民主社會中。你們中的人並不全都生活在美國,但是你們中許多人生活在民主社會中,對此你們有什麼想法?我們這個模型缺少了什麼嗎?讓我們聽聽那位女士說。 學生:每個立場的選民並非按10%均勻分佈 教授:有一點使我們建立此模型的假設很牽強,即選民們不是均勻分佈的,讓我回到講臺上記一下,雖然這樣很累,但我多走幾個來回吧!被忽視的因素,或者說錯誤在於,在現實生活中,每個立場的選民數並非是均分的。好了,還有別的嗎?我們來輪流依次討論這些問題。我能聽聽那位同學說嗎?抱歉,這樣做對裘德不方便,讓我下來這邊吧!我下來搜集答案,然後回到講臺。 學生:這個模型沒有考慮到,不同候選人所在黨派的名額數有差異。 教授:好,這裡涉及到名額的問題。這裡我們假設人人都投票,這對嗎?但是事實上,非人人都投票,不投票也是一種策略,提醒我寫下這一條,不投票,別忘了要提醒我啊!穿黃色衣服的那位先生。 學生:在初選和大選中也存在著區別 教授:好,讓我們假設,我們把思維跳躍到某一次選舉中,至少在美國社會裡,無論正誤,我都有權發表自己的言論。現在正有很多初選進行中,在所有的州都會進行初選,有些州名你甚至都沒聽說過,或者你只聽過它周圍的州的名字。還有別的嗎?我們能不能,另外一個麥克風在哪?請穿綠色上衣的女士來回答。 學生:美國選民經常根據候選人的性格,而非政治立場來投票。 教授:所以不僅僅是立場,換句話說,就是,如果我說錯了請糾正,換種說法就是,我們把政治假定為單一維度的,非左即右,然而它還涉及其他方面,比如性格問題。即使政治事務的處理也不是單一維度的,它可能是有一個方面是關於環境的,而另一個方面是關於外交政策的,第三個方面也可能是再分配政策,那是一個重要的觀點。還有更多的看法嗎? 學生:此模型可能不適用於兩個以上的候選人 教授:另一個問題是,我假設只有兩個候選人,我們知道在一些選舉中有三個候選人。例如,納德也參與到了那次大選,我猜他也在另外一場選舉中,但很顯然他也參加了2000年的大選。順便說一句,我不認為某種程度上說,有三個選舉人是一個笑話,這是由於一些由來已久的問題造成的,因為不投票也是一種選擇。原則上,在2000年那場大選中,應該有四個選舉人,因為你可以投出四種選票,當時你可以這樣投票。你可以投給高爾、布希、納德,或者投棄權票,我留給你們自己去考慮,投給誰等於棄權?有人回答嗎?我還有個想法,雖然有點無關緊要,但也是顯而易見的。有個第一次發言的同學,艾爾幫我個忙,幫我遞給他一個麥克風。 學生:考慮到人們關注的東西都不一樣這個實際情況,每個最靠近立場6的人,未必把票都投給選擇立場6的候選人了,這可能只是巧合。 教授:你說的沒錯,儘管這可能也是一個維度的問題。我有一個不同的想法,讓我解釋一下,我認為這很重要。一個候選人在整個大選中可能說,我是個中立的候選人,我的立場是5,但你不一定就相信他/她的說法。你可能掌握著候選人的記錄,儘管那個候選人聲稱自己的立場是5,你心裡很清楚,那個候選人的立場實際上是1或10,對嗎?因此除非候選人能保證堅定一個立場,否則他們輕易宣稱自己是中間立場,反而將會帶來麻煩。 接下來我們再來分析一個案例,就是布希跟高爾競選總統的案例。我們都知道總統布希,那時候應該還是總統候選人布希,說他自己不是激進派,他是個有同情心的保守派,然後你們竟然相信他了。我真的想不明白,是不是因為他在德克薩斯州任職期間的政績,使他看上去像個保守派。再或者說,現今的黨內初選時,你會發現不同風格的候選人,無論他們是民主黨的還是共和黨,都在尋找適合自己的政治立場,但你們也會發現,幾乎所有候選人都有政績可尋,並不是所有人都相信希拉蕊•克林頓,像她自己說得那樣,是個中立派。並不是所有人都相信,前麻塞諸塞州州長會像他看上去那樣,是個保守派。所以說你自己選什麼立場不能僅憑喜好。 我得把這些寫到黑板上,不然我就忘了。大家一起來幫我回憶一下,有多位候選人,實際情況下候選人不只有兩個;存在棄權票,這也是很正常的。還有就是,候選人未必能夠堅守他的立場,也就是說選民未必相信你的立場。我要指出的,是這與你無法執行相應政治策略是相關的。還有其他因素,比如黨內初選,多維度問題,也就是多維分析,我把所有要點都寫下了嗎?我想應該大概就這些了。 已經有很多因素了。當我們再仔細分析這個模型時,我們發現之前的分析漏掉了很多因素,很多因素都沒有被加入到模型裡,以後我們考慮問題要更嚴謹一些了。有人可能會說,看看我們建立的模型,它忽略了這麼多東西,所以這個模型沒有任何意義,或許你們會說,根本沒必要建立這個模型。你可能會更進一步說,建模的時候總會忽略一些因素,所以乾脆也不要建模了,我覺得這樣推理是不成立的。我覺得合理的結論應該是,我們建立模型的目的,是為了更好地描述事實,激發靈感。這個案例告訴我們的是,候選人都擠到中間立場,以拉攏更多選票。 但是,當然了,模型是由重要的事實抽象而來的。我們接下來該怎麼做呢?好吧,那我們就來完善這個模型吧!給這個模型加入新的約束條件,看看會不會得到不同的結果。如果是再分析原因,你們從最原始的模型開始,加入約束條件來豐富這個模型,然後檢驗結果是否有變。這能幫助我們解釋,為什麼在不同條件下結果是不同的。今天這一講我要說明的是,模型總是抽象的。你建立好模型要看看有沒有疏漏,然後添加應有的約束條件,檢查它們對結果是否有影響。如果有,是如何影響的。 我們再進一步來分析。首先想到的就是,現實中選民是不均勻分佈的,這的確是毋庸置疑的。但事實上,就算我們讓選民分佈更符合實際情況,比如說是按鐘形分佈的,但這實際上對結果沒有什麼影響。縱使它是現實,但它對結果沒有影響。我們就可以說這個是次要條件,因為它的變化不會引起結果的改變。 那麼多個候選人的約束條件呢?顯然這個有很大的影響。我們知道在92年和2000年,有多個候選人參與了大選,還有棄權票對結果也有很大影響,我們來看看這些條件會不會影響結果。這個條件的分析是第一個習題集的內容,你們回去自己分析一下。我們回到最初的模型,然後加入第三個候選人,看看結果會怎麼樣,你們就會知道這會不會改變結果了,我就不告訴你們結論了。 堅守政治立場,這一點也很重要。通常候選人很難讓選民相信,他們是左派、右派或是中間派。我舉個美國歷史以外的案例吧!那是發生在英國的事情。在97年,是八九十年代的事情,英國工黨在選舉敗選,而且是連年落敗。每次選舉的時候,他們都會聲稱,我們不是一個左翼政黨,我們現在是中間派,但是選民都不相信他們。 而托尼·布雷爾代表的工黨,在97年大選中獲勝,他在選舉中提出了新工黨政策。他成功讓選民相信,工黨是真正意義上的中間派。他採用的是,在英國,參選人必須提前公佈自己內閣政府在未來五年的財政計畫,所以他就用了當時執政的保守黨的財政計畫,作為未來五年的財政計畫公佈給民眾。他說這些計畫就是他的執政計畫。我現在就宣佈,這是未來五年的財政計畫。那些政策跟保守黨的如出一轍,他不只是選了一個臨近保守派的立場,他選的就是一個保守派的立場。這就跟某些在座的同學說一樣,選舉的重點往往在其他方面,比如說性格或者其他方面。在某個方面取勝了,那就大獲全勝了。 儘管如此,儘管我列舉了一個歷史上的例子,我們還是要回到課堂上來。我們接下來要來探討一個政客不能自己選立場的模型。但是當然你們可以提前獲知他們的立場,我們會講到這個模型的,我們以後再討論這個。另外兩個約束條件,初選和多維度,這二者都是很有現實意義的,我們在這門課上就不去探討它們了。但是如果你們選修了政治學專業的,有關投票與選舉模型的課程的話,你們會發現這兩個因素都可以模型化,而且都會有非常詳細的介紹,甚至會有實際經驗表明,多維度在選舉中是多麼舉足輕重。 那些都是政治科學的重要內容。我想鼓勵你們選一些更深入的課程,儘管那是別的學院開的課。大家都理解有關迭代剔除的內容了吧?我們在相對抽象的背景下探討迭代剔除,其實也沒那麼抽象。比如上一講,我們做的選數字的遊戲,然後我們討論了漢尼拔將軍入侵羅馬,現在我們又把這個理論運用到選舉中,我認為迭代剔除已經講的差不多了。 所以接下來我想換個話題了。我們來介紹一個新的理論工具,這門課要經常用它們。我們會不斷引入新的工具,然後學會如何運用它們,接下來看看從中我們學到了什麼,然後我們又引入另一個工具,所以現在我要介紹一個新的工具。之前的問題還有疑問了嗎?大家都聽懂了嗎?看來是都聽明白了,大家確定都聽懂了是吧?好了,那我就不再講迭代剔除了,我要向你們介紹一個新的話題。我先擦一下黑板,一會可能要用到的。 有一條關於建模的準教訓。對於經濟學者,你們那些主修經濟學的,應該經常問自己,出現什麼問題了?對於主修歷史或者政治學的同學,就需要多考慮一些問題了。你們要多問問自己為什麼要建模?我們能從這些模型中學到些什麼?好了,我們講下一話題。下一個分析賽局的內容,被我們稱為最佳對策。我們舉個例子來開始。 這是一個只有兩個參與人的很簡單的賽局。參與人I有三個策略,上中下;參與人II有左右兩個策略;收益是這樣的。這確實不太有意思,他們只是些數字罷了。(4, 2) 和 (2, 3),還有(5, 1)、(0, 2)、(1, 3)、(4, 1)、(4, 2) 和 (2, 3)。首先,我們先用已經學過的知識來分析這個賽局。 哪個參與人有劣勢策略嗎?有人回答嗎?我說沒有參與人存在劣勢策略,我們來驗證一下。例如說,你們可能認為選下是個劣勢策略,但仔細觀察後你會發現,參與人II選右時,選下要比上更好;參與人II選左,選下比選中更好。類似的,我們也得出右也不是劣勢策略。因為參與人I選上時,選右比選左好。選左也不是劣勢策略,因為參與人I選中時,左是最佳策略,以此類推。 當你從頭到尾仔細分析過之後,你會發現這裡沒有劣勢策略。所以之前講的,不要採用劣勢策略和迭代剔除劣勢策略,在這裡就不奏效了。因此,對於這個賽局你也無從下手了,儘管這是個簡單而直接的賽局。現在假設你就是參與人I,你認為你應該怎麼選擇呢?你是參與人I的話,你該怎麼辦?還是請大家舉手表決吧! 看仔細了,再好好看看這個賽局,不准不舉手哈!有多少人選上?選上的請舉手,選上的現在請舉手啊!好了,你是管理學院的學生吧?你可以把手舉起來。哦,你是說自己數學不好啊?好吧,你去年不是學了會計學嗎?沒人選上嗎?沒有人選上,那好吧!有誰選中?只有一個人選中。多少人選下?哦,我的天啊!那麼多人選下呀!那我們來分析一下吧! 如果知道參與人II會選左,你們怎麼選?如果你們突然得知參與人II要選左了,你們會怎麼選呢?大家都知道5大於1,5也大於4,所以選上是-以後我們就要用術語來說了,選上是左的最佳對策,大家都看明白了嗎?選上是對手選左時的最佳對策。那選什麼是對手選右的最佳對策呢?選中是右的最佳對策,是吧?因為4大於0,4大於2,所以選中是右的最佳對策。有趣的是,你們都選擇下,可是選上是左的最佳對策,而選中是右的最佳對策。 我們把這個問題變得複雜點。加入你給別人打工呢?你們從耶魯大學畢業後可能會選擇創業,但大多數人會和我一樣,畢業後會給別人打工。假設你在工作中遇到了這個賽局,你選擇了上,你的老闆找到你,很嚴肅的看著你,校長裡克·列文或者別人很嚴肅的看著我,問我為什麼要選上,我該怎麼解釋?我說,哦,我選上是因為,我認為對手會選左,我對我選上做了解釋,我認為對手應該會選左,這樣我認為選上是合理的,但那樣行嗎?那樣最多能保證我不會被炒魷魚,至少在當時不會。 類似地,如果我選了中,然後校長裡克·列文走過來問我,為何你選擇中?我說,我選中是因為,我認為另一個人會選右,並且選中是右的最佳策略。同樣的,我可能有幸保住了工作,看起來我好像解釋了為什麼選中,但是你們都選了下,絕大多數的人都選了下,選下就很有技巧性。我該如何解釋我為什麼選下呢?我能找出選擇下的理由嗎?你們都選擇了下,我現在是你們的老闆了,你們為什麼選下?有些人到現在還沒發過言,把話筒遞給你前面的那個人吧!站起來大聲說。 學生:當你無法判斷你的對手會選左還是右時,選下是較安全的答案,因此你不必擔心收益變成0。 教授:沒錯,某些情況下選下是比較安全的,因為他避免了0收益。我的意思是,它的確避免了0收益,但選它也得不到5和4這連個最大收益。我不清楚你的回答想要說明什麼,我可能不太確定我的對手會選擇左還是右。舉個例子吧!我可能認為他選擇左和右的可能性是相同的,對嗎?那我們來分析一下。我們來看一下,我從上中下這三個策略中,分別能獲得什麼樣的收益?如果我認為我對手選擇左或右的可能性相同,所以接下來我們看看,在我認為對手選擇左右的可能性相同下的預期收益,我們把它稱為(½,½)。 那麼在我對手選擇左或右可能性相同的情況下,我的預期收益會是什麼樣的呢?是½乘5加上½乘0,等於2.5,沒算錯吧?那我在(½,½)情況下,選中的預期收益是什麼呢?在此情況下,我依然認為對手選左選右的可能性相同,在這種情況下,我預期收益是½乘1加½乘4,總和還是2.5,大家都看懂了嗎?目前算得都對吧?那在(½,½)情況下,我選下的預期收益呢?它等於½乘4加½乘2,即6的½,也就是3。 這個結果和剛才那位先生說的,如果我覺得我對手選擇左或右的可能性相同的話,這時候最好的選擇。也就是說我的最佳對策是選下。不僅僅因為它是個折中的方案,不僅僅選它很安全,實際上它是我的最佳對策,它最大化了我的預期收益,現在我們還沒到那一步。我們知道上是左的最佳對策,中是右的最佳對策,我們還知道,如果我們認為對手選左或者是右的可能性相同的情況下,下是此情況下最好的策略,但是這不是我唯一的信念。 比方說,我可能認為對手選左的可能性是選右的可能性的2倍,這也可能啊!選左可能性是右的2倍,這個½與½的可能性是類似的。那麼在選左是選右的可能性的二倍時,選擇每個策略的機率是多少呢?機率分別是多少?(2/3, 1/3),如果你覺得對手選左的可能性是2/3,而選右的可能性是1/3,即對手選左的可能性是右的2倍時,我們再重新計算一下。並且理論上,對於每一個可能的機率,我們都可以進行預期收益計算,不過這樣做會很枯燥,與其一個一個地算,不如我們畫張圖吧! 我要在這裡畫一張圖,座標系的橫軸表示對手選右的機率,也就是我關於對手選右機率的信念,把它想像成信念吧!座標系的縱軸,由於種種原因,我畫了兩個縱軸,縱軸表示我的預期收益,我們從在圖上表示預期收益開始。稍微等我一下,我先標注出來幾個點。我標注了1、2、3、4、5,你們也跟我在筆記本上一起畫吧!你們的內頁應該有準線,應該更好畫。 我先把選上的預期收益標注出來,這不是很難。我們知道如果我選上的話,我對手選右的機率就是0。也就是說我選上我對手會選擇-我說錯了,重新來。如果對手選右的機率是0,也就是說我認為對手絕對會選左。同樣的,如果對手選左的機率是0,那也就是說,重新來,如果對手選右的機率是0,其實就是說他們會選左。因此,此情況下我選上的收益,從上面的矩陣看,我的收益是5,這是我選上,對手選左時我的收益。 相反,如果對手選擇右的機率為1,並且我選的是上,那我的收益為零。也就是說,這個點表示,我選上對手選右時我的收益。我們已經計算過了機率是½的情況,即在對手機率是(½,½)的情況下,我選擇上我從中獲得的預期收益是2.5,這樣圖上就有三個點了。除了這三點,剩下的圖像是什麼樣的?這三點以外的圖像是什麼樣的呢?是一條直線,你要是不信回去自己驗證一下。事實上我畫成直線是絕對正確的。 這條線表示什麼呢?它表示在對手選擇右的不同機率下,我選擇上的預期收益。並且這也實際上等於,如果用方程表示的話,它等於1減去對手選右的機率,乘以此時我的收益是5,再加上他們選右的機率,乘以此時我的收益是0。這個並不是極其重要,但這是該直線的方程式。那我選中情況是怎樣的呢? 我們再來畫一條線,我們先來描點吧!如果對手選右的機率是0,也就是說對手選左,此時我選中的收益是什麼?我的收益是1。我還是用這根棍子來指吧!對應的是這個點。如果說對手肯定選右,即他們選右的機率是1,此時我選中的收益是4,就是這個點。而且我們已經計算過了,如果我覺得對手選左選右的機率相同,即他們選右的機率為1/2時,我選擇中收益為2.5。 把這些點連在一起,我知道它一定會經過這一點,這次我們又畫出了一條直線。我感覺我畫的不是很直啊!大概大概吧!這條線表示什麼呢?這條線表示,參與人I在對手選右時,選擇左而獲得的收益。這條表示對手選右時,參與人選中的收益。兩個端點中間的線段部分,表示參與人I選右的預期收益。它是對手選右機率的一個方程式。這次我們同樣能寫出它的方程式,方程式是,1減對手選右的機率再乘以1,加上對手選右的機率乘以4。對這個方程式也不需要太深究,在這裡我們不強調數學運算的,我把它寫出來是為了表述完整。大家都跟上我思路了沒? 現在我們再畫出第三條線。我應該換種顏色畫第二條的,那我換個顏色吧!我們來畫出對應選下的直線。對於線上的點我就不再贅述了。第三條線會經過這個點,會經過(0,4)和(2,0)。這條線表示對手選左時我選下的收益,這條表示對手選右時我選下的收益,這些都是從之前的矩陣總結來的。這兩點之間依然還是一條直線,這就是第三條直線了。它表示參與人I選擇下獲得的收益,是另一個參與人選右機率的一個函數。對於這一條直線,我們依然能夠給出方程式,即4(1-Pr)+Pr*2。 我覺得從圖像上面,我們就能得到所有想知道的資訊了。當我的老闆過來的時候,當校長列文或者巴裡·納萊巴夫來找我,他們二位就坐在教室後面呢!當他們問我為什麼這麼選時,問我有沒有理由的時候,我就能這麼說了。比如說,我把交點標注出來,比如說我可以這麼說,如果我認為,我們把稱這個點為X,如果我覺得我對手選右的機率小於X,那麼我的最高的收益對應的是這條線,也就是最高的那條線,即表示我選上的收益那條線。也就是說,如果我覺得對手選右的機率小於X,那我的最佳對策是選上。 相反,如果我覺得對手選右的機率會在交點Y的右方,即比Y大,也就說對手選右的機率大於Y,那麼這三條線中最高的是這條線,這條線表示我選中的收益。所以在這個區間內,我最佳對策是中。我們把它寫在黑板上吧!在這個區間內,我的最佳對策是選中。但是在這個區間內,我的最佳對策是上。而這中間的這個區間內最高的線,表示我對於對手選右機率的信念。我認為機率大於X但小於Y,此時我的最佳對策對應的是藍色的線,此情況下我的最佳對策是選下。 對三種情況我都給出了合理解釋,並且我希望巴裡不會解雇我。如果我們再深究還能獲得更多資訊,不過今天就算了吧!實際上我們能夠解出X和Y的值,我們怎麼解呢?我的意思是,我現在不會去計算,因為我可能會算錯。但是如果你真的很想解出X和Y的值,因為這是一節需要快速反應的課,那我們花些時間來探討一下吧!怎樣解出X和Y的值?誰不是數學專業的?告訴我們怎麼解呀?數學專業的覺得它太簡單而不屑去解。哪個數學專業的同學來告訴大家如何解出X和Y的值?請把話筒遞給她。 學生:令交點處的兩個方程式相等,然後就可以解出來了。 教授:很好,解釋得很清楚。要解出X,X是這條藍線與紅線的交點,接下來我們只需要列出這兩條線各自的方程式,也就是這個方程式和這個方程式,把方程式中的P換成X,我就得到了兩個等式和一個未知數。錯了,是一個等式和一個未知數。我讓兩個方程式相等,只剩下了一個等式和一個未知數,因此我能解出X的值,我記得我在家也是這麼算的。如果你回去自己計算一下,你會發現X等於1/3。 我再重複一遍,我知道你們之中有些人數學不怎麼好,我放慢一點說,我是這麼解的。看這條粉線的方程式,還有這條藍線的方程式,X是二者的交點,也就是說這點兩個方程式相等,在這兩個方程式中間加個等號,將這裡的Pr換成X,就會得到一個等式和一個未知數,剩下的問題,大家高中的時候就該會做了吧?都會了嗎? 接下來我們我放慢一點。在下一講我還要用這個方法,我要向大家介紹最重要的課程,抱歉,是整個課程中最重要的賽局,事實上,它也是世界上最重要的運動。世界上最重要的運動是什麼?先不要走。世界上最重要的運動是什麼?我們會用最佳對策來分析。我們會仔細分析,從這個世界上最重要的運動中學到很多知識。世界上最重要的運動是什麼?足球,英式足球。英式足球是世界上最重要的運動。我們講學到賽局理論講如何幫助我們在足球比賽罰球,巴裡·納萊巴夫就坐在教室後面,他手裡有需要教材,是一本不錯的教材,你們走之前去他那裡買一本吧! 2007年9月12日 *****